Главная > Фракталы и хаос > От часов к хаосу: Ритмы жизни
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.4. Локальная устойчивость, бифуркации и структурная устойчивость

Локальная устойчивость стационарного состояния или предельного цикла определяется с помощью малого возмущения. Если стационарное состояние или предельный цикл способны к восстановлению, то они устойчивы. Если, с другой стороны, малое возмущение вызывает такое изменение в динамике, что исходное состояние не восстанавливается, то стационарное состояние или предельный цикл неустойчивы. На практике всегда существуют небольшие возмущения в окружающей среде, постоянно оказывающие воздействие на любую биологическую систему, поэтому любое наблюдающееся стационарное состояние или колебания

являются локально устойчивыми. В уравнении (2.4) начало координат представляет собой стационарное состояние, потому что в этой точке . Однако сколь угодно малое отклонение от этого состояния, в конце концов выведет систему на устойчивый предельный цикл Таким образом, стационарное состояние является неустойчивым.

Уравнения, моделирующие биологическую систему, обычно содержат один или более параметров для описания системы, окружающей среды и взаимодействия между ними. При изменении параметров локальная устойчивость стационарных состояний и циклов может изменяться. Любое значение параметра, при котором число и/или устойчивость стационарных состояний и циклов изменяется, называется бифуркационной точкой, а о системе говорят, что она претерпевает бифуркацию. С математической точки зрения инициирование и прекращение колебаний в физиологической системе могут быть описаны бифуркациями в соответствующих математических моделях. В качестве примера рассмотрим прекращение дыхания, которое может быть вызвано снижением уровня и повышением уровня 0.2 в результате гипервентиляции (см. гл. 5). В соответствующей математической модели должна иметь место потеря устойчивости колебательного решения. Мы говорим, что в математической модели возникает бифуркация при определенных уровнях газов в крови.

До сих пор мы рассматривали только локальную устойчивость стационарных состояний и циклов. Другой тип устойчивости связан с устойчивостью основной структуры уравнений и той биологической системы, которую они представляют. Если при сколь угодно малом возмущении системы уравнений ее основные качественные свойства сохраняются неизменными (т. е. топология системы не изменяется), такие уравнения называются структурно устойчивыми. Поскольку нет сомнений в том, что параметры в уравнениях, описывающих динамику ключевых систем (если они вообще могут быть определены), должны различаться у различных индивидуумов, представляется разумным предположить, что уравнения динамики физиологических систем структурно устойчивы. Важность структурной устойчивости в математических моделях биологических систем была убедительно аргументирована топологом Томом. Так как небольшие изменения параметров приводят к качественно различному динамическому поведению в бифуркационных точках, системы не являются структурно устойчивыми в этих точках.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление