Главная > Физика > Квантовая теория поля, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

13.3.2. Асимптотическая свобода

Мы привели вычисления при малых g в случае самодействующего скалярного поля и абелевых или неабелевых калибровочных полей

РИС. 13.6 Функция вблизи начала координат, а — самодействующее скалярное поле, б — неабелево калибровочное поле при в — неабелево калибровочное поле при электродинамика или взаимодействие Юкавы

На рис 13.6 приведены соответствующие результаты. В квантовой электродинамике рассматривалась величина [причем определялась выражением (13.29)] как функция от .

Если представляет собой ультрафиолетовую фиксированную точку, то мы говорим, что соответствующая теория асимптотически свободна Среди приведенных здесь примеров только неабелевы калибровочные поля с малым числом фермионов обладают этим свойством На первый взгляд такой является -теория при Но скорее всего при она нестабильна Поскольку асимптотическая свобода означала бы, что по крайней мере в области больших импульсов радиационные поправки можно вычислять по теории возмущений, можно было бы найти неограниченный

эффективный потенциал. Вслед за Коулменом мы приходим к заключению, что для теория нестабильна.

В исчерпывающем исследовании Коулмен и Гросс установили следующий результат. Никакая перенормируемая теория поля не является асимптотически свободной в четырех измерениях, если она не содержит неабелевы калибровочные поля.

Наметим схему вывода этого важного результата.

а) Скалярная теория

Взаимодействие обобщается на произвольный набор взаимодействующих скалярных нолей, заданных в виде

где тензор полностью симметричен. В первом порядке по имеем

где Предполагая для стабильности форму порядка положительной, найдем, что

б) Взаимодействие Юкавы Лагранжиан взаимодействия имеет вид

Условие положительности может нарушаться, но все кона анты связи не могут одновременно обращаться в нуль в асимптотической области. Действительно, если

Поскольку абелевы калибровочные поля также не являются асимптотически свободными, остается единственная возможность — ввести неабелевы калибровочные поля.

Если поля Янга — Миллса связаны с фсрмионами, то для простой калибровочной группы необходимо, чтобы выполнялось условие . Если бозонные поля, ситуация осложняется. Прежде всего этих полей не должно быть слишком много, с тем чтобы сохранялось условие , где - калибровочная консганта связи. Кроме того, эти поля имеют свои собавенные константы, хараюеризующие их самодействие Предположим, например, что существует единственное скалярное поле, принадлежащее присоединенному представлению. Соответствующая константа в низшем порядке будет удовлетворять уравнению вида

где . При этом величина будет определяться уравнением

Кроме гого, мы должны предположить, что имеет по крайней мере порядок в противном случае положительный член будет доминирующим и приведет к уничтожению асимптотической свободы Правая часть последнего уравнения имеет два корня порядка единицы при условии, При этом необходимо тщательно соблюдать баланс между числом полей, поскольку добавление фермионов приводит к росту величины В. Если такой баланс выполняется, то при величина будет вести себя как а — один из корней данного уравнения) и, следовательно, удовлетворять требуемому свойству Общая ситуация при наличии нескольких бозе-полей оказывается еще более запутанной и требует в каждом конкретном случае детального рассмотрения.

Введение таких бозе-полей может быть вызвано необходимостью генерировать массовые члены с помощью механизма спонтанного нарушения симметрии. На практике, однако, трудно объединить асимптотическую свободу и нарушение симметрии. Путем введения взаимодействия Юкавы в лучшем случае создать зону нестабильности на линии притяжения в плоскости Обсуждение этого вопроса можно найти в лекциях Гросса, цитируемых в примечаниях к данной главе.

Выводы, сделанные исходя из вычислений нескольких первых членов вблизи , основываются, конечно, на предположении, что ряд теории возмущений является асимптотическим. При обсуждении высших порядков (гл. 9) мы убедились, что это лучшее, на что мы можем надеяться. Полные ряды, вероятно, расходятся и имеют существенную сингулярность в точке . Очевидно, что вычисление в точках g, удаленных от остается задачей будущего.

В асимптотически свободной теории поведение амплитуд при больших импульсах может быть вычислено, если точка является ближайшей фиксированной точкой. Это одна из причин, почему данной точке уделяется такое большое внимание со стороны теоретиков. Однако название «асимптотическая свобода» несколько вводит в заблуждение, поскольку даже в этом случае имеется логарифмическое отклонение от законов масштабного преобразования, свойственных свободной теории. Если

то для , получаем

Для большинства интересных операторов функция будет иметь порядок

Следовательно, масштабный фактор будет содержать логарифмы

    (13.92)

При этом поведение функции Грина, включающей оператор в случае будет отличаться от канонического множителем .

Существование асимптотически свободных теорий имеет далеко идущие последствия при построении моделей сильных взаимодействий Эти теории позволяют нам согласовать два, казалось бы, противоречивых свойства Взаимодействия при нижних и средних энергиях оказываются на самом деле сильными и обладают сложной структурой за счет многочисленных резонансов Приближенная или -симметрия дает качественное описание адронов как составных связанных состояний кварков Однако все попытки выделить эти составляющие в свободном виде до сих пор терпели неудачу При более высоких энергиях кварки взаимодействуют гораздо слабее вплоть до точки, в которой они, по-видимому, действуют как свободные частицы Соответствующая кинематическая область, достижимая в реальных экспериментальных условиях, представляет собой пространство светоподобных интервалов В разд 13.4 и 13.5 мы увидим, что обсуждавшееся до сих пор разложение на малых расстояниях можно обобщить и на данную область. При этом можно объяснить наблюдаемое парадоксальное поведение константы связи, если предположить, что взаимодействия кварков описываются асимптотически свободной теорией поля Катастрофические инфракрасные сингулярности были бы тогда ответственны за конфайнмент кварков Эти привлекательные рассуждения с неизбежностью требуют, такая модель включала неабелевы калибровочные поля, связанные с ненаблюдавшейся (а может быть, и ненаблюдаемой) цветной степенью свободы

Обобщение на случай нескольких констант связи и соответствующую многомерную эволюцию открывает громадное богатство различных явлений, таких, как стабильные фиксированные точки, предельные циклы, эргодическое поведение и т. д. Однако трудности получения достоверной информации об эволюции констант связи вдали от точки, в которой они все равны нулю, несколько ограничивают ценность таких исследований.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление