Главная > Физика > Квантовая теория поля, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

13.3. ВОССТАНОВЛЕННАЯ МАСШТАБНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ

13.3.1. Эволюция константы связи

Точное уравнение Каллана—Симанзика находит себе наиболее интересные применения, когда правой частью, содержащей массовую вставку, можно пренебречь. Если бы это было не так, нам

пришлось бы иметь дело с цепочкой функционалов отражающих всю сложность структуры амплитуд во всей кинематической области их определения. Нас же интересует только глубоко евклидова область, в которой любые импульсы становятся большими. Разумеется, имеет смысл лишь тогда, когда задан некоторый массовый масштаб. Здесь нас выручает теорема Вайнберга, рассмотренная в гл. 8. Ее применение к строго перенормируемой теории показывает, что в рамках теории возмущений в соотношении (13.71) величина подавляется некоторой степенью параметра точностью до логарифмов) по сравнению с левой частью этого соотношения. Поэтому безмассовый предел теории существует при условии, что вычитания производятся при ненулевом импульсе. Это определяет выбор энергетического масштаба. Здесь и далее будет обозначать соответствующие безмассовые функции Грина. Они удовлетворяют однородному уравнению

    (13.82)

Аналогичные уравнения можно получить и для справедливость наших предположений будет доказана, если решения этих уравнений пренебрежимо малы по сравнению с

Решение уравнений (13.82) по своей структуре напоминает соотношение между затравочными и перенормированными параметрами. Это, разумеется, связано со способом, с помощью которого были получены эти уравнения. Отличие состоит лишь в том, что расходимости здесь уже исключены. Изменение масштаба импульсов будет сопровождаться конечной перенормировкой. Чтобы описать соответствующие эффекты, введем функцию , представляющую собой решение дифференциального уравнения

    (13.83)

В случае нескольких констант связи обобщением (13.83) будет система дифференциальных уравнений первого порядка Введем также функцию

Уравнение (13.82) принимает тогда вид

    (13.85)

Отсюда следует, что

    (13.86)

Помимо наивного масштабного фактора появляется аномальная размерность а константа связи меняется на

Остается найти, что происходит в пределе . В частности, нам следует изучить асимптотическое поведение функции . Из уравнения (13.83) видно, что главным является вопрос о расположении нулей функции . Возможен исключительный случай, когда исходная константа связи в точности совпадает с положением такого нуля; назовем его g. В этом случае независимо от значения к.

Вообще творя, значение при будет изменяться; оно растет, если величина положительна, и уменьшается, если Р отрицательна. Такая зависимость нарушается, если функция обращается в нуль. Возможна ситуация, когда с ростом к. Это может случиться, если имеет тот же знак, что и g, при любых g и обращается в нуль только при . Эту ситуацию сложно анализировать, поскольку при приходится иметь дело с режимом сильной связи.

Чтобы функция стремилась к конечному пределу когда к необходимо, чтобы обращалась в нуль и было отрицательным в окрестности точки Такой нуль называется ультрафиолетовой фиксированной точкой (рис. 13.5).

РИС. 13.5. Ультрафиолетовая фиксированная точка.

Может случиться так, что фиксированная точка является ультрафиолетовой притягивающей с одной стороны и ультрафиолетовой отталкивающей — с другой. Это имеет место в случае, когда два простых нуля совпадают. Для простого притягивающего нуля будет расходящимся:

будет стремиться к как обратная степень величины к. Аналогичный анализ можно выполнить в случае кратного нуля.

С другой стороны, от поведения в окрестности мы не ожидаем ничего необычного. Если то с точностью до независимого от множителя

В общем случае притягивающие и отталкивающие фиксированные точки появляются последовательно вдоль оси g В зависимости от исходного значения эффективная константа связи при будет стремиться к ближайшей притягивающей ультрафиолетовой фиксированной точке

Ультрафиолетовые неустойчивые точки, для которых являются инфракрасными точками притяжения и соответствуют предельным значениям при к Они представляют интерес, если в безмассовой теории анализируется предел больших расстояний или малых по сравнению с параметром ультрафиолетового обрезания импульсов Это как раз предмет теории критических явлений, в которой соответствует критической температуре, а предметом исследования являются дальнодействующие корреляции

Возвращаясь к нашей исходной задаче, мы заключаем, что наличие близкой ультрафиолетовой фиксированной точки приводит к тому, что при больших к асимптотическое поведение амплитуд записывается в виде

    (13.87)

Мы снова пришли к масштабной инвариантности, соответствующей в данном случае некоторому конкретному значению константы связи При этом поле имеет эффективную размерность

Функции Грина, содержащие массовую вставку А, подчиняются уравнению

где [см уравнение (13 75)]. До тех пор пока , основывающееся на теории возмущений отождествление асимптотическою режима и безмассового предела законно В противном случае массовая вставка эффективно соответствует жесткому оператору и теорию следует переформулировать. Дополнительные замечания по этому поводу см. в разд. 13.3.3

Это блестящее рассуждение, которым мы обязаны главным образом Вилсону, показывает, каким образом ренормализационная группа позволила обнаружить существование нетривиального масштабного поведения Вопрос теперь заключается в том, чтобы выяснить, имеет ли нули указанного вида. Однако, поскольку точка всегда является таким нулем, вследствие того что

равна нулю в отсутствие взаимодействия, особый интерес представляет изучение природы этой фиксированной точки в рамках теории возмущений.

Упражнения

1 Обсудите, как отразится наличие кратного нуля на асимптотической формулировке масштабной инвариантности, и найдите поправки к асимптотическому поведению

2 Покажите, что из положительности спектральной плотности в представлении Челлена — Лемана для двухточечной функции следует, что и что соответствуют свободной теории, как было отмечено Паризи, а так же Калланом и Гроссом

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление