Главная > Физика > Квантовая теория поля, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

13.12. Уравнение Каллана — Симанзика

Вместо того чтобы исследовать эффекты, связанные с изменением точки перенормировки, можно сделать как бы шаг назад и вернуться к рассмотрению голых регуляризованных функций Грина, характеризуемых параметром обрезания . При соответствующем выборе голых параметров мы имеем

    (13.22)

Известно, что это соотношение было получено лишь с помощью теории возмущений, и благодаря тождеству Уорда не содержит множителей, связанных с перенормировкой волновой функции. Кроме того, мы имеем

    (13.23)

Предел будет здесь всегда подразумеваться, но, как правило, мы не будем его выписывать в явном виде. Для дальнейшего очень важно, что вследствие перехода к этому пределу перенормированные амплитуды зависят от меньшего (на единицу) числа размерных параметров, чем регуляризованные.

Рассмотрим неприводимую функцию Диаграммы, дающие вклад в величину

являются условно сходящимися, С точностью до множителя они соответствуют неприводимой части функции Грина (рис. 13.1)

Условная сходимость предполагает сохранение тока. Вставка оператора : увеличивает на единицу степень одного

из знаменателей в интегралах Фейнмана. Однако, как показано в гл 8, вычитание внутренних расходимостей, обусловленных вставками в поддиаграммы собственной энергии фермиона, требует введения нового контрчлена или, что то же самое, умножения на Z. В конечном счете величина

в пределе будет конечной В низшем порядке величина определяется формулой (7.9) (см т. 1 настоящей книги) При больших она ведет себя как — .

рис. 13.1. Диаграммы для .

В порядке А есть величина — умноженная на полином от Поэтому в теории возмущений асимптотический предел обращается в нуль

Рассмотрим теперь вариацию величины (а следовательно, и а) при фиксированных значениях и А. В соответствии с (13.23) имеем

Если это соотношение имеет предел при при фиксированных а и , то единственным безразмерным параметром, от которого оно может зависеть, является а. Следовательно, из соображений размерности определим величину

Убедимся в том, что в теории возмущений функция существует. С этой целью вычислим соответствующую производную от

С помощью (13.24) левую часть можно также записать в виде

Если функция конечна, то же самое справедливо и относительно величины

    (13.26)

что приведет нас к уравнению Каллана—Симанзика

Из того факта, что обращается в нуль, следует также уравнение

    (13.28)

Из уравнения (13 28) мы видим, что функция вычисленная по теории возмущений, конечна. Этого достаточно, чтобы использовать данное уравнение при некотором определенном значении х Наоборот, изучая это уравнение и обобщая его на другие функции Грина, можно судить о перенормируемости теории.

Для квантовой электродинамики фермионов трехпетлевые вычисления де Рафаэля и Рознера дают

    (13.29)

В отличие от функции функция , за исключением первых двух ее членов, зависит от того, каким образом проводится перенормировка константы связи а. Из (13.29) следует, что при функция положительна.

Как мы договорились ранее, вычислим теперь для произвольного высокого порядка теории возмущений ведущий вклад в поляризацию вакуума, используя лишь уравнение (13.28) и формулу (13 29) Для этого подставим в (13.28) следующие формальные разложения:

    (13.30)

где

При этом получим следующее уравнение:

    (13-31)

Решение его запишется в виде

    (13-32)

Отсюда следует, что вычисления с учетом двухпетлевых вкладов определяют которые в свою очередь позволяют найти главное приближение в порядке.

Разложение величины можно перегруппировать, суммируя сначала главные логарифмы, затем следующие за ними и т. д. В результате имеем

К сожалению, этот метод не позволяет вычислить при больших Например, если бы мы удержали только главные логарифмы, то опять получили бы нефинический призрачпый полюс Ландау в точке, в которой . Но при таком значении х второй член логарифмически обращается в бесконечность, и предположение о том, что этот член не вносит доминирующего вклада, нарушается. Иначе говоря, перегруппировка, приведшая к (13.33), полезна только тогда, когда . Чтобы найти истинное поведение при больших х, требуется просуммировать все логарифмы или, что эквивалентно, вернуться к исходным уравнениям (13.27) и (13.28).

Интересно понять на языке диаграмм, почему для вычисления в любом порядке коэффициента при главном логарифме нам достаточно иметь лишь

РИС. 13.2. Диаграммы максимальным числом фермионных петель, дающих вклад в поляризацию вакуума порядка .

Напомним, что в гл. 8 мы сделали заключение, согласно которому при суммировании калибровочно-инвариантных классов диаграмм главная степень величины равна числу внутренних фермионных петель. Для

читателя поучительно получить это свойство введения для фермионов -кратного вырождения по некоторому квашовому числу и изучения зависимости от N. На рис. 13,2 представлены диаграммы с наибольшим числом фермионных петель в данном порядке по а. Получаемая в итоге структура показывает, почему вычисление в двухпетлевом приближении дает коэффициент при доминирующем члене до порядка, пропорциональный Из (13.25) следует, что константа удовлетворяет уравнению

Таким образом, изучение предела бесконечного параметра обрезания возможно при условии, что сделаны некоторые предположения о виде функции .

- Разумеется, между функцией Гелл-Манна — и коэффициентом Каллана—Симанзика существует некоторая связь. Возьмем, например, производную от выражения (13.11) по и Подставим результат в (13.28). Это приводит к выражению

    (13.35)

которое можно проанализировать затем при некотором определенном значении Выберем, например, точку При этом а

    (13.36)

Это показывает также, что нули двух функций связаны между собой. Если таково, что то обращается в нуль при . В частности, если это значение соответствует ультрафиолетовой фиксированной точке, то при Кроме того, из (13.34) вытекает, что — конечная величина; а, играет роль квадрата конечного голого заряда. Возможность того, что может равняться наблюдаемой физической постоянной тонкой структуры, подробно обсуждалась Адлером. К сожалению, в настоящее время мы не имеем определенной процедуры вычисления этих функций вне рамок теории возмущений, так что в целом вопрос остается открытым.

Читателю рекомендуется получить уравнения, аналогичные уравнениям Каллана—Симанзика, для других электродинамических функций Грина.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление