Главная > Физика > Квантовая теория поля, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава 13. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ

Сзязь между поведением амплитуд при больших передаваемых импульсах или на малых расстояниях и свойствами перенормируемости рассматривали в начале 50-х гг. Штюкельберг и Петерман, а также Гелл-Манн и Лоу. В 70-х гг. после работ Вилсона, Симанзика и Калла на эта область исследований вступила в пору расцвета. Не следует недооценивать также потока новых идей, приведших в итоге к слиянию этих исследований с изучением критических явлений, что связано в первую очередь с именами Каданова, Фишера и Вилсона. Выяснилось, что сингулярности на малых расстояниях, причинившие немало хлопот и вынудившие теоретиков разработать целую технологию перенормировки, на самом деле позволяют уяснить свойства операторов при масштабных преобразованиях. Нетривиальные следствия бесконечно малого изменения масштаба можно записать с помощью системы дифференциальных уравнений. Интегрируя их, можно установить, что во многих случаях поведение на малых расстояниях носит универсальный характер, причем полям и составным операторам необходимо приписать аномальные размерности.

Эти идеи нашли успешное применение при изучении глубоконеупругого рассеяния лептонов, электрон-позитронной аннигиляции и других процессов при высоких энергиях. Концепции операторного разложения на малых расстояниях, асимптотическая свобода обогащают арсенал теоретиков и пробуждают надежды на разработку фундаментальной теории сильных взаимодействий.

Поразительные успехи развивающейся параллельно статистической механики привели к выдающимся результатам, которые прекрасно согласуются с экспериментом.

Настоящая глава может служить лишь введением в эту безграничную область. Мы будем избегать сложных математических доказательств и полагаться большей частью на эвристические аргументы и примеры, следуя историческому пути развития ценой некоторых повторений.

13.1. ЭФФЕКТИВНЫЙ ЗАРЯД В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ

Для того чтобы ввести читателя в круг соответствующих представлений, обсудим сначала электродинамику, изучавшуюся первоначально Гелл-Манном и Лоу.

Фундаментальной величиной здесь является электрический заряд, точнее постоянная тонкой структуры . Это значение получено из низкоэнергетических экспериментов в атомной физике, т. е. на расстояниях, существенно превосходящих комптоновскую длину волны заряженного фермиона (скажем, электрона), которая определяет фундаментальный масштаб длины. В высокоэнергетических же экспериментах мы интересуемся, наоборот, локальными квазимгновенными свойствами взаимодействия. Можно было бы наивно полагать, что этот режим управляется затравочными параметрами, входящими в гамильтониан. К сожалению, в результате перенормировки соотношение между затравочным и перенормированным зарядами осложняется из-за бесконечностей, возникающих по крайней мере в рамках теории возмущений. Способ компенсации этих расходимостей накладывает определенные ограничения, которые отражаются на асимптотическом поведении. Смысл слова «асимптотический» будет проясняться по мере дальнейшего изучения предмета.

13.1.1. Функция Гелл-Манна — Лоу

Рассмотрим фотонный пропагатор и его связь с поляризацией вакуума:

Для простоты не будем вводить фиктивной массы фотона Продольная часть пропорциональная , в последующем рассмотрении не играет какой-либо роли Нормировка заряда обеспечивается условием со и, следовательно, определяется низкоэнергетическим взаимодействием или излучением мягких фотонов. Поляризация вакуума зависит от а и массы электрона Чтобы дать определение эффективного заряда , соответствующего переданному импульсу q, рассмотрим комбинацию связанную с фотонным пропагатором

Вычитания обычно выполняются при . Посмотрим, что произойдет, если выбрать другую точку вычитания, а именно (в евклидовой области вдали от сингулярностей). В этом случае параметром разложения по теории возмущений будет величина а равная

Эффективный заряд, выраженный через а, цредставляет собой функцию D, такую, что

и

Уравнение (13.4) выражает бессодержательное на первый взгляд утверждение, что величины, имеющие физический смысл, не должны зависеть от того, какого из этих определений мы придерживаемся. Выбор другой точки вычитания приводит к изменению величины , но функция D при этом остается прежней. Заметим, что в квантовой электродинамике анализ упрощается благодаря тождествам Уорда учет которых позволяет ограничиться изучением лишь поляризации вакуума.

Поскольку D — безразмерная функция, можно написать

и воспользоваться этими соотношениями в глубоко евклидовой области, в которой отношение является большим. Нам известно в принципе разложение поляризации вакуума в ряд теории возмущений. В каждом порядке мы вычисляем его асимптотическое поведение, пренебрегая членами, ведущими себя как Отсюда получаем функцию которая следовала бы также из безмассовой квантовой электродинамики, если бы в качестве масштабного параметра использовалась величина Таким образом, мы исследуем область — надеясь при этом, что отброшенные члены не дадут в сумме ощутимого вклада. Однако серьезный анализ этой гипотезы на данной стадии исследований невозможен.

В выражениях (13.6) правая часть становится равной , где Если выбрать точку вычитания в интервале то в левой части выражений (13.6) можно пренебречь зависимостью от поскольку из гл. 8 известно, что соответствующий безмассовый предел существует. В этом пределе D заменяется функцией зависящей от масштабного параметра Полагая находим

причем

Отсюда следует, что можно рассматривать как функцию одной переменной. Чтобы убедиться в этом, определим согласно Гелл-Манну

и Лоу функцию

продифференцируем выражение (13.7) по х и положим Таким образом, получим

С учетом условия (13.8) интегрирование этого уравнения дает

что эквивалентно ряду

    (13.12)

Прежде чем перейти к обсуждению полученного результата, приведем найденное нами ранее выражение (8.130) для поляризации вакуума. Напомним, что показатель степени при определяется числом петель в диаграмме. С точностью до имеем

    (13.13)

где - числовая константа. Определим величину

    (13.14)

Тогда мы можем записать

    (13.15)

Чтобы отыскать функцию вычислим производную при Используем также результат трехпетлевого вычисления, полученный Бейкером и Джонсоном. Это дает

причем функция Римана равна

    (13.17)

Решение уравнения Гелл-Манна — Лоу (13.10) показывает, что главный вклад порядка в поляризацию вакуума можно

найти, если известно (а следовательно, и ) в более низких порядках. Чтобы проиллюстрировать это утверждение, вычислим главный вклад в d, ограничиваясь двухпетлевым приближением для Из выражения (13.11) имеем

    (13.18)

Обращая эти выражения, находим

    (13.19)

Таким образом, мы действительно получили доминирующий вклад в порядке . В качестве более простого примера можно было бы, удерживая лишь первый член в обнаружить в двухпетлевом приближении сокращение членов , т. е. результат, получение которого в гл. 8 стоило нам значительных усилий. Заметим, однако, что в данном приближении мы не смогли бы получить коэффициент при

Если в (13.19) подставить как функцию от а, то в данном порядке можно выделить главные вклады. В любом случае из (13.19) следует вывод, что при трехпетлевой вклад в со ведет себя как Таким образом, ренормализационная группа позволяет получать новые результаты, хотя поначалу казалось, что мы занимаемся лишь формулировкой тривиальных утверждений. Ниже мы покажем, что найденные до сих пор численные выражения достаточны, чтобы можно было вычислить все вклады типа

Функция известна только как степенной ряд в окрестности нуля, и нет никакой гарантии, что он сходится. Даже наоборот, мы подозреваем, что этот ряд будет в лучшем случае асимптотическим (см. разд. 9.4). Напомним, что разложение d в ряд справедливо лишь при условии, что когда — Это объясняет, почему существование полюса функции d в окрестности нефизической евклидовой точки

довольно сомнительно. Такой полюс, называемый иногда призрачным полюсом Ландау, возникает, когда в а удерживается вклад

только первого порядка. Поскольку эта сингулярность, очевидно, находится в асимптотической области, при серьезном исследовании потребуется полное выражение для все члены которого сравнимы по величине. Поэтому на данном этапе рискованно делать какие-либо выводы о несогласованности квантовой электродинамики.

С другой стороны, если предположить, что функция имеет смысл, то, формулируя конкретные гипотезы относительно вида этой функции, можно делать выводы о характере теории в целом. Отметим, что по самому ее определению функция универсальна и не зависит от выбора того или иного способа перенормировки.

Рассмотрим несколько возможностей. Исходя из явного вида первых членов разложения функции предположим, что она положительна на интервале Чтобы быть последовательными, предположим также, что а, принадлежит этому интервалу.

Если бесконечно, т. е. если обращается в нуль только при необходимо, чтобы интеграл расходился на верхнем пределе таким образом, что при . В противном случае должно обращаться в бесконечность при нефизических значениях и то же самое, вероятно, справедливо относительно полной функции d. Иными словами, в соответствующей теории действительно имеется призрачный полюс Ландау. Ясно, что по первым нескольким членам разложения в ряд эту гипотезу проверить надлежащим образом нельзя.

Другой возможностью является обращение в нуль при некотором конечном положительном значении . В области положительность означает, что представляет собой возрастающую функцию, и мы требуем, чтобы интеграл расходился. Это будет выполнено, если имеет при простой нуль. Если эти условия выполнены, то когда . Фактически, поскольку уменьшается в окрестности этой точки, стремится к независимо от того, а, - меньше, чем или больше. Это свойство характеризуют, говоря, что есть ультрафиолетовая притягивающая (или стабильная) фиксированная точка. В случае когда — функция принимает постоянное значение .

В окрестности точки можно записать

    (13.20)

Интегрирование выражения (13.11) дает

здесь положительная постоянная k зависит от точного вида функции Критический индекс характеризует скорость приближения к фиксированному значению а, при котором фотонный пропагатор имеет значение, соответствующее свободному полю. При этом а должна представлять собой электромагнитную константу связи для малых расстояний, как если бы затравочная (голая) константа связи была конечной.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление