Главная > Физика > Квантовая теория поля, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

12.1.4. Калибровочная инвариантность и дополнительные связи

Уравнений движения недостаточно для того, чтобы можно было вычислить поле при заданном наборе условий Коши в момент времени . Два решения, сводящиеся одно к другому посредством калибровочного преобразования такого, что при удовлетворяют одним и тем же условиям Коши, но могут различаться для моментов времени Поэтому калибровочный произвол следует ограничить с помощью дополнительных условий, не влияющих на калибровочно-инвариантные физические наблюдаемые. Последующее рассмотрение, основанное на работах Фаддеева, приведет нас к функциональному квантованию, которое кратко обсуждалось в гл. 9.

Ограничимся рассмотрением простой компактной группы Ли. Действие, как и в абелевом случае, первоначально записывается через независимые переменные F и А:

    (12.51)

Варьируя по F и А, получаем соответственно уравнения (12.16) и (12.29). Введем обозначения Е и В в соответствии с формулами (12.31) и, чтобы исключить последнюю величину, используем не зависящее от времени соотношение между А и В. В дальнейшем для В будем применять обозначение В (А). После интегрирования по частям имеем

    (12.52)

Поскольку член есть не что иное, как плотность энергии, мы имеем типичную проблему системы со связями. Роль канонических переменных и q играют здесь Переменные играют роль множителей Лагранжа для связей

    (12.53)

и являются составляющими уравнений движения (12.29) при v = 0. Вследствие диагональности метрики (12.26) (что позволяет задать полностью антисимметричные структурные константы ) одновременные скобки Пуассона можно записать следующим образом:

    (12.54)

Нам понадобятся также выражения для скобок причем

    (12.55)

Следовательно, мы имеем выражения

в которых и правила перестановок учитываются как для производных, так и для члементов алгебры Ли. С другой стороны, не зависящие от времени инфинитезимальные калибровочные преобразования векторов Е и А запишутся в виде

Следовательно, в гамильтоновом формализме Г являются генераторами не зависящих от времени калибровочных преобразований. Не производя каких-либо дальнейших выкладок, приходим к заключению, что

При этом уравнения движения можно записать в виде

а уравнения для связей запишутся следующим образом:

    (12.59)

Наблюдаемые являются функционалами от величин Е и А, ограниченных на многообразии (12.59), так что скобки Пуассона величины Г с Е и А на этом многообразии обращаются в нуль. Следовательно, такие функционалы оказываются инвариантными относительно не зависящих от времени калибровочных преобразований Именно такой случай реализуется, например, для плотности гамильтониана.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление