Главная > Физика > Квантовая теория поля, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8.1.4. Теорема о сходимости

Рассмотрим более детально связь между сходимостью интегралов Фейнмана и степенью расходимости. Заметим сначала, что, поскольку пропагаторы содержат мнимую часть безразлично, в каком пространстве изучать сходимость, — в пространстве Минковского или в евклидовом. Мы рассмотрим здесь только второй случай.

Предел изучался Боголюбовым и Парасюком, а также Хеппом Они показали, что существует эквивалентность между абсолютной сходимостью в евклидовой области, определяющей аналитическую функцию внешних импульсов, и сходимостью соответствующего фейнмановского интеграла к обобщенной функции медленного роста (т. е. полиномиально-ограниченной) в пространстве Минковского в пределе

Определим здесь поддиаграмму g диаграммы G как подсистему вершин диаграммы G и всех внутренних линий, соединяющих их в G. Каждой сильносвязной (т. е. одночастично-неприводимой) диаграмме мы сопоставляем семейство всех ее связных собственных поддиаграмм. Разумеется, OF включает и саму диаграмму

Теорема. Если для всех то интеграл Фейнмана, соответствующий диаграмме G, абсолютно сходится (в евклидовой области)

Чтобы иметь дело с относительно простыми выражениями, проведем доказательство только для случая скалярной теории без связей с производными Мы используем при этом параметрическое представление. В евклидовой области оно имеет вид

Предположим, что для всех I, и напомним, что -это квадратичная положительно-определенная форма внешних импульсов и однородная рациональная дробная функция первой степени относительно а Следовательно, неясной остается лишь сходимость при . Экспонента, ограниченная в нуле, не играет здесь роли Полином является суммой мономов степени с выражением (6.86)]:

Следуя Хеппу, разобьем область интегрирования на секторы:

где — перестановка из . Докажем сходимость интеграла по секторам. Каждому сектору соответствует семейство вложенных друг

в друга подсистем линий диаграммы G (необязательно поддиаграмм):

где содержит линии, отвечающие набору Ради простоты обозначений проведем рассуждение для первого сектора, соответствующего тождественной перестановке Произведем в этом секторе следующую замену переменных:

Якобиан данного преобразования равен

Область интегрирования по переменным Р запишется в виде

Для любой (необязательно связной) подсистемы можно определить условную степень расходимости

где - число внутренних линий подсистемы Число независимых петель

выражается через число связных частей и вершин Это обобщение формулы (6.69) нетрудно доказать по индукции. Очевидно, Как функция от является полиномом, причем коэффициенты при различных мономах, входящих в него, равны единице. Докажем, что он имеет вид

Прежде всего отметим-, что при одновременном растяжении всех а в раз справедливо равенство

Изучим теперь поведение полинома в случае, когда а, принадлежащие только растягиваются в раз:

Равенство (8.21) выражает через деревья диаграммы О. Каждое дерево диаграммы G проектируется на как объединение связных деревьев Это дает вклад в (8.21) и виде члена,

который при растяжении (8.26) ведет себя как степень величины с

равным числу линий подсистемы не принадлежащих системе

Поскольку система удовлетворяет соотношению типа (8 24), в котором число петель положено равным нулю (это объединение деревьев) и объединяет все вершины подсистемы то полное число линий равно

Следовательно, степень величины в соответствующем мономе, входящем в равна Наинизшая степень величины достигается для тех деревьев диаграммы G. для которых т. е. для таких деревьев, которые проектируются в соответствии с формулой

Все эти деревья можно задать, если построить независимые связные деревья в каждой связной части подсистемы а затем дополнить их объединение до дерева диаграммы О. Следовательно, их общий вклад в факторизуется в произведение т. е. в полином соответствующий согласно правилу (8.21), и в полином причем приведенная диаграмма получается стягиванием всех линий и вершин каждой связной части подсистемы в одну вершину Таким образом, мы приходим к выводу, что

Вернемся теперь к переменным . Очевидно, является фактором однородности для параметров, относящихся к для параметров, относящихся к и т. д. Поскольку вложены друг в друтй, соотношение (8.27) может быть использовано повторно:

что в итоге приводит к (8.25). Коэффициент, стоящий перед ведущим членом, равен 1, так как в исходном полиноме 53 данную комбинацию степеней величины Р может иметь лишь единственный моном. Рассмотрим теперь интеграл (8.20), вычисляемый в секторе . В предположении теоремы, а именно, что для люой сильносвяэной поддиаграммы g, нетрудно показать, что для любой подсистемы у — как сильносвязной, так и не сильносвязной. Следовательно, подынтегральное выражение

мажорируется с точностью до множителя величиной

и, поскольку интеграл абсолютно сходится в нуле Таким образом, интеграл (8 20) абсолютно сходится в любом секторе, что и требовалось доказать.

В случае скалярной теории, лагранжиан которой не содержит производных, и 5 проведенного выше доказательства следует также, что, если сильносвязная поддиаграмма имеет неотрицательную условную степень расходимости, интеграл Фейнмана расходится. В самом деле, расходимость имеется по меньшей мере в одном секторе, а, поскольку интеграл является положительно-определенным, она не может сократиться. С другой стороны, в электродинамике мы встречали примеры сокращений различных членов, входящих в числитель фейнмановского подынтегрального выражения в импульсном пространстве. Например, мы показали, что диаграмма поляризации вакуума расходится лишь логарифмически, а не квадратично и что диаграмма рассеяния света на свете сходится.

Ниже мы должны будем показать, что, после того как произведены вычитания во всех поддиаграммах, для которых , интеграл абсолютно сходится Заметим, что предыдущие рассуждения об абсолютной сходимости оправдывают a posteriori произведенные при выводе (8.20) изменения порядка интегрирования или замены переменных интегрирования При этом мы нашли также, сколько членов следует вычесть из обычного пропагатора (8.2), чтобы регуляризовать теорию. Например, в теории замена делает любую диаграмму, кроме однопетлевого головастика, сходящейся, так как условная степень расходимости записывается теперь в виде

и является отрицательной при . Однопетлевой головастик можно либо регуляризовать независимым образом, либо исключить, переопределив правило Вика. Действуя таким образом, мы получаем в результате конечную регуляризованную теорию. Такой же анализ можно провести и для квантовой электродинамики (см. разд. 8.4.2.)

Из предыдущей теоремы можно сделать следующий полезный Вывод. Если диаграмма G не содержит условно расходящихся поддиаграмм, т. е. для всех поддиаграмм но сама G условно расходится, т. е. , то расходящаяся

часть соответствующей амплитуды является полиномом по внешним импульсам и внутренним массам степени, меньшей или равной . Действительно, поскольку a) (G) служит мерой степени однородности по импульсам и массам, то производные порядка по имеют степень — 1 и, следовательно, являются условно сходящимися. Согласно теореме, производные или смешанные производные этого порядка] являются конечными.

Читателю предоставляется в качестве простого упражнения показать, что наше доказательство теоремы остается в силе и в этом случае.

Окончательно получаем

где остается конечным после устранения обрезания, a D является полиномом от Р и степени, меньшей или равной

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление