Главная > Физика > Квантовая теория поля, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.4. ДИСКРЕТНЫЕ СИММЕТРИИ

Как это ни парадоксально, но роль симметрий более понятна, когда они нарушаются внешними факторами, например измерительной аппаратурой. Здесь мы дадим краткий обзор некоторых дискретных симметрий, возникающих в теории невзаимодействующих квантованных полей. Симметрии, носящие кинематический характер, мы уже рассматривали, а к внутренним симметриям вернемся в гл. 11 (см. т. 2 настоящей книги).

При активной точке зрения под симметрией понимается однозначное соответствие между состояниями, или, точнее, матрицами плотности, сохраняющее вероятности перехода

Это определение является несколько ограниченным, поскольку в нем выделяется роль времени, т. е. чистые преобразования Лоренца и обращение времени следует рассматривать независимо. Для последней симметрии это будет сделано ниже. По теореме Вигнера любое взаимнооднозначное отображение матриц плотности , удовлетворяющее условию может быть расширено до унитарного или антиунитарного оператора в гильбертовом пространстве.

Исходя из симметрии, установленной для матриц плотности, можно подобрать фазы состояний таким образом чтобы построить линейный (или антилинейный) оператор, действующий в гильбертовом пространстве. Группа симметрии обычно реализуется с помощью проективного представления вида , где — фаза.

В таком ограниченном смысле каждому унитарному оператору U, коммутирующему с гамильтонианом, отвечает симметрия Мы будем главным образом иметь дело с полем Дирака и предоставляем читателю самостоятельно рассмотреть случаи скалярного и векторного бозонных полей.

3.4.1. Четность

Мы предполагаем, что при соответствующем изменении экспериментальной установки можно получить состояние с преобразованной четностью. С теоретико-полевой точки зрения мы ищем унитарный оператор , удовлетворяющий условию

    (3.177)

поскольку из предыдущей главы нам известно, что удовлетворяет уравнению Дирака с преобразованной четностью Таким образом, можно предположить, что 53 коммутирует с Н. Из (3.177)

следует, что

Независимо от величины фазы относительная четность системы фермион—антифермион равна оператор кратен единичному. Унитарный оператор, удовлетворяющий этим условиям, имеет вид

    (3.179)

где произвольно, а . В частности, если Убедиться в том, что действительно является симметрией, можно проще всего, опираясь на соотношения, описывающие трансляции во времени:

Следовательно,

Кроме того, можно показать, что . В теории, описывающей взаимодействующие поля, полный оператор четности будет произведением операторов, относящихся к отдельным полям, В частности, мы предлагаем читателю построить оператор для электромагнитного поля, такой, что

    (3.180)

Читателю предлагается показать, что билинейный дираковский ток преобразуется аналогичным образом:

    (3-181)

Отсюда, используя равенство получаем, что лагранжиан взаимодействия

инвариантен относительно преобразования четности.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление