Главная > Схемотехника > Основы теории цепей
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава седьмая. КРУГОВЫЕ ДИАГРАММЫ

7-1. Комплексные уравнения прямой и окружности

Многие практические задачи требуют исследования зависимости цепи от различных факторов. Для таких исследований наряду с аналитическими методами прибегают к графическому методу — к построению геометрических мест концов векторов, изображающих различные величины. Эти геометрические места, называемые диаграммами (годографами), могут иметь сложную форму. В простейших случаях получаются прямые линии и дуги окружности, которые и называют соответственно линейными и круговыми диаграммами.

При исследовании электрических цепей часто какая-нибудь комплексная величина определяется уравнением вида

где — изменяющаяся комплексная величина с неизменным аргументом v и переменным в пределах от 0 до модулем . Геометрически L представляет собой сумму двух векторов (рис. 7-1), один из которых неизменяем, а другой, N сохраняет неизменное направление (v = const), но изменяется по длине. Конец вектора совпадает с концом переменного вектора N. Следовательно, геометрическим местом конца вектора служит

полупрямая, проходящая через конец вектора А. Таким образом, при указанных условиях уравнение (7-1) является комплексным уравнением полупрямой. Если же рассматривать не как модуль комплексной величины (который всегда положителен), а как вещественное число, изменяющееся от до то уравнение (7-1) будет представлять комплексное уравнение прямой, проходящей через конец вектора А. Часть прямой, соответствующая отрицательным значениям , показана на рис. 7-1 пунктиром.

Рис. 7-1.

Теперь рассмотрим другой тип уравнения, который очень часто встречается при анализе электрических цепей:

где — комплексная величина с неизменным аргументом и модулем , изменяющимся в пределах от 0 до

Рис. 7-2.

Покажем, что геометрическим местом концов векторов М является дуга окружности. Для этого разделим числитель и знаменатель выражения (7-2) на :

где при , и перепишем выражение (7-3) в следующем виде:

При всех значениях сумма двух изменяющихся векторов М и равна неизменному вектору На рис. 7-2 векторы показаны для одного частного значения при условии . При всех значениях от 0 до вектор повернут относительно вектора М на угод , а угол при вершине М треугольника ОМК. равен постоянной величине .

Отсюда следует, что конец вектора М лежит на дуге ОМ К окружности, для которой вектор является хордой. Ниже будет дан простой способ построения этой окружности, а сейчас покажем, Как найти вектор М для любого значения .

Отложим от точки О по направлению хорды ОК отрезок ОА, равный в некотором (произвольном) масштабе а. Затем через точку А проведем прямую AN под углом к вектору

и продолжим линию ОМ до пересечения в точке N с линией AN. Получились два подобных треугольника OAN и ОМК Из подобия следует, что

Таким образом, если отрезок ОА соответствует а, то отрезок AN в том же масштабе определяет модель изменяющейся комплексной величины N. Линия называется линией изменяющегося параметра. Откладывая на ней отрезки AN, соответствующие различным значениям , и соединяя их концы с точкой О, можно для любого значения определить положение вектора М. При увеличении точка М приближается к точке О. В пределе при длина вектора М должна согласно (7-3) равняться нулю, следовательно, точка М сольется с точкой О, т. е. секущая ON станет касательной ОТ, и так как точка N уйдет в бесконечность, то прямая ОТ будет параллельна линии изменяющегося параметра AN, поэтому перпендикуляр к линии изменяющегося параметра является вместе с тем перпендикуляром к касательной точке О и, следовательно, совпадает по направлению с диаметром окружности, проведенным через точку О. Отсюда вытекает следующий прием построения круговой диаграммы:

1) откладывается вектор — это хорда окружности;

2) от начала вектора по его направлению откладываем отрезок ОА, равный в произвольном масштабе а;

3) под углом — к вектору проводим линию изменяющегося параметра

4) проводим прямую OD перпендикулярно линии AN; прямая проходит через центр окружности;

5) из середины вектора восстанавливаем перпендикуляр и продолжаем его до пересечения в точке С с линией Точка С — центр искомой окружности.

Заметим, что «рабочая часть» окружности, т. е. та дуга, по которой перемещается точка М, расположена относительно хорды ОК с той же стороны, где находится линия изменяющегося параметра.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление