Главная > Схемотехника > Основы теории цепей
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

17-8. Синтез двухполюсников с потерями. Метод Фостера

В § 17-3 было указано, что для реализации входных функций двухполюсника с потерями или они должны быть заданы как положительные вещественные функции. Там же были сформулированы четыре свойства, которым должны удовлетворять функции .

Первое свойство проверяется легко и обеспечивается тем, что коэффициенты многочленов в (17-5) задаются вещественными.

Второе свойство проверяется применением, например, критериев Гурвица или Рауса к каждому из многочленов в отдельности. Эти критерии рассматриваются в курсе высшей математики (в разделе «Линейная алгебра»). Они позволяют установить отсутствие или наличие хотя бы одного нуля у этих многочленов в правой полуплоскости.

Третье свойство, сводящееся к положительности функции или при проверяется применением теоремы Штурма, которая сводится к установлению наличия или отсутствия нулей у вспомогательных функций при изменении от нуля до бесконечности. Теорема Штурма рассматривается в курсе высшей алгебры.

Четвертое свойство устанавливается непосредственно, поскольку полиномы задаются.

В дальнейшем будем считать, что входные функции или — положительные вещественные.

Рассматривая сначала в качестве входной функции сопротивление , отмечаем, что корни многочлена могут лежать на мнимой оси, на отрицательной вещественной полуоси и в любых точках левой полуплоскости. Здесь обращается внимание на корни знаменателя потому, что метод Фостера основывается на разложении на простейшие дроби.

Для реализации выделим сначала все слагаемые, соответствующие корням , расположенным на мнимой оси, т. е. реактивное сопротивление . Учитывая разложение, сделанное

в § 17-6, получим:

    (17-33)

причем — положительная вещественная функция, все полюсы которой лежат на отрицательной вещественной полуоси и в любых точках левой полуплоскости.

Далее найдем частоту при которой имеет минимум, определим Лмин и вычтем Лмин из , т. е. составим выражение

    (17-34)

Эта операция называется приведением функции к виду минимального активного сопротивления, т. е. к такой функции для которой при частоте со получаем Подчеркнем, что приводя к виду минимального активного сопротивления, нельзя вычитать произвольное . Если, например, взять Лмин, то и не будет соблюдено условие положительности вещественной части функции

Таким образом, приведение к виду минимального активного сопротивления вытекает из требования, чтобы рассматриваемые функции были положительными вещественными.

У положительной вещественной функции в общем случае полюсы лежат на отрицательной вещественной полуоси и в любых точках левой полуплоскости. Поэтому она может быть разложена на совокупность дробей вида

    (17-35)

Каждая простая дробь первой суммы реализуется схемой из параллельно соединенных С, и (рис. 17-22, а). В самом деле,

    (17-36)

где и постоянная А находится аналогично (17-25):

    (17-37)

Каждая простая дробь второй суммы реализуется схемой из параллельно соединенных и (рис. 17-22, б):

    (17-38)

где а постоянная В находится также аналогично (17-25):

Каждая дробь третьей суммы реализуется, например, схемой, приведенной на рис. 17-22, в. Однако следует заметить, что в общем случае не все параметры схемы рис. 17-22, в получаются положительными, т. е. дроби третьей суммы, а значит, и входное сопротивление двухполюсника в целом не всегда реализуемы этим методом.

Рис. 17-22.

Рассматривая далее в качестве входной функции проводимость отмечаем, что ее реализация методом разложения на простые дроби производится в том же порядке, как и функции .

Рис. 17-23.

Получив функцию , аналогичную , т. е. положительную вещественную функцию, и считая, что ее полюсы расположены на отрицательной вещественной полуоси и в любых точках левой полуплоскости, представим ее аналогично (17-35) совокупностью простых дробей вида

Простая дробь первой суммы реализуется схемой рис. 17-23, а, так как

где и постоянная А находится аналогично |17-25):

    (17-42)

Простая дробь второй суммы реализуется схемой рис. 17-23, б, так как

    (17-43)

где а постоянная находится также аналогично (17-25):

Дробь третьей суммы реализуется схемой рис. 17-23, в, так как;

Однако и здесь в общем случае не все параметры (рис. 17-23, в) получаются положительными, т. е. дроби третьей суммы, а значит, и входная проводимость двухполюсника в целом не всегда реализуемы этим методом.

Рис. 17-24

Пример 17-6. Дана положительная вещественная функция

Требуется реализовать методом Фостера, т. е. методом разложения на простые дроби.

Решение Корни уравнения находятся любыми известными методами

Выделяем слагаемые, соответствующие полюсам , расположенным на мнимой оси формулам (17 25) находим

Поэтому

Найдем минимальное активное сопротивление Для этого определим

и, приравняв нулю производную

найдем, что при частоте минимальное активное сопротивление Выделяем из состава

которое реализуется схемой рис 17 22, б с параметрами

На рис 17-24 представлена полученная схема двухполюсника

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление