Главная > Схемотехника > Основы теории цепей
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

16-6. Низкочастотные фильтры

Определение фильтрационных свойств тех или иных четырехполюсников сводится к исследованию зависимости их коэффициентов затухания и фазы и характеристического сопротивления частоты. Рассмотрим, как рассчитываются эти зависимости для фильтров, собранных по Т- или П-образным схемам, из чисто реактивных элементов.

Как показано в § 16-2 и § 8-1, для симметричного четырехполюсника и, в частности, фильтра

Так как исследуемый фильтр состоит из чисто реактивных элементов, то величины чисто мнимые и, следовательно, А - положительное или отрицательное вещественное число. При этих условиях уравнение

    (16-40)

распадается на два:

Рассмотрим сначала низкочастотный П-образный фильтр (рис. 16-9), у которого

    (16-42)

и по (16-39)

Границы области пропускания определим согласно (16-41) неравенством — так как изменяется в пределах от — 1 до + 1, т. е.

    (16-44)

Рис. 16-9.

Следовательно, фильтр пропускает без затухания токи с частотами от до Из схемы, приведенной на рис. 16-9, легко установить, что — собственная частота контура, состоящего из индуктивности L и двух последовательно соединенных емкостей

Изменение коэффициента фазы b в области пропускания фильтра найдем из равенств (16-41) и (16-43):

Обозначив получим:

    (16-45)

На рис. 16-10 приведены кривые а Они показывают, что в области пропускания фильтра когда увеличивается до изменяется от 1 до — 1, что следует из равенства (16-45). При этом b может изменяться от 0 до или от 0 до — .

В необходимости выбрать для b положительный знак можно Убедиться, построив векторную диаграмму при любой частоте в области пропускания этого фильтра, согласованного с нагрузкой (рис. 16-11). Такая векторная диаграмма дана на рис. 16-12. Поскольку фильтр на выходе согласован с нагрузкой, а характеристическое сопротивление его в области пропускания — чисто активное (см. ниже), то сопротивление нагрузки также активное и ток

совпадает по фазе с После построения токов и напряжения на сопротивлении найдем напряжение которое опережает напряжение на угол При из схемы (рис. 16-11) и ясно, что При возрастании частоты вектор опережает вектор на все больший угол Поэтому из диаграммы ясно что коэффициент фазы b, т. е. угол между векторами и будет при всех значениях со положительным.

Рис. 16-10.

Рис. 16-11.

В области затухания фильтра, когда изменяется от 1 до и, как следует из второго равенства (16-41), b остается равным . Из первого равенства (16-41) получим в области затухания:

    (16-46)

откуда и находим затухание а.

Отметим, что именно для чисто реактивных фильтров левая часть второго из равенств (16-41) равна нулю при любых частотах .

Рис. 16-12.

Рис. 16-13.

Это и определяет вид частотных зависимостей затухания а и фазы b, приведенных на рис. 16-10. Так как второе уравнение (16-41) удовлетворяется либо при либо при (или 0), то точки излома частотных характеристик а и b получаются как раз при

Итак, кривая b в области пропускания строится по уравнению (16-45); в области затухания . В области пропускания а в области затухания кривая а строится по уравнению (16-46).

Как было показано выше, при согласованной нагрузке в области пропускания величины входных и выходных напряжений и

соответственно токов одинаковы. Отличие а от нуля в полосе затухания означает неравенство , точнее — уменьшение выходных величин по сравнению с входными, т. е.

Рис. 16-14.

Подчеркнем, что для фильтра в отличие от линий (гл. 18) затухание в области непропускания не связано с потерями в его элементах (фильтр чисто реактивный). Сказанное иллюстрирует векторная диаграмма, построенная для схемы рис. 16-13, где . На этом рисунке изображен тот же П-образный низкочастотный фильтр, работающий в режиме согласования с нагрузкой при одной из частот в области затухания , когда характеристическое сопротивление его — емкостное (см. ниже). Из диаграммы рис. 16-14 видно, что и что сдвиг фаз между векторами а также и равен 180°, как это и следует из частотной характеристики b (рис. 16-10).

Рис. 16-15.

Так как равенство (16-39) справедливо не только для но и для Т-схем, то все сказанное выше о зависимостях а и от частоты относится и к Т-фильтру низких частот (рис. 16-15). Иными словами, частотные характеристики коэффициентов затухания и фазы и граничная частота для П- и Т-фильтров одинаковы. Легко убедиться, рассматривая схему (рис. 16-15), что для Т-фильтра является собственной частотой контура, получаемого коротким замыканием входных и выходных зажимов. Не одинаковы для П- и Т-схем только характеристические сопротивления. Приведенные выше частотные зависимости затухания а и фазы b могут быть качественно получены из физических соображений, если исходить из известных графиков характеристических сопротивлений (рис. 16-16) и считать фильтр согласованным с нагрузкой во всем диапазоне частот. В области пропускания характеристическое сопротивление — активное, т. е. Поэтому при согласованной нагрузке входное сопротивление фильтра со стороны первичных зажимов (рис. 16-9 и 16-15), равное характеристическому сопротивлению, также чисто активное (т. е. напряжение совпадает по фазе с током Д). Следовательно,

    (16-47)

А это означает, что при согласованной нагрузке фильтр работает в режиме резонанса для всех частот в области пропускания.

Кроме того, для чисто реактивного фильтра одинаковы первичные и вторичные активные мощности, т. е.

    (16-48)

Из соотношений (16-47) и (16-48) в порядке проверки получаем и на основании (16-37) заключаем, что при этом

Далее из схем рис. 16-9 и 16-15 очевидно, что при со коэффициент фазы . С увеличением частоты в пределах области пропускания вектор опережает вектор на все больший угол, что следует из векторной диаграммы рис. 16-12. Если построить векторные диаграммы для Т-схемы при или для П-схемы при то можно убедиться, что опережает по фазе на 180°.

Рис. 16-16.

В области затухания для П-схемы — емкостное. Поскольку схема (рис. 16-13) содержит только индуктивности и емкости, очевидно, что может находиться либо фазе, либо в противофазе с Построением векторной диаграммы при любой частоте аналогичным приведенному на рис. 16-14, можно убедиться, что находится в противофазе с и что Построив векторные диаграммы для двух каких-либо значений легко убедиться, что с возрастанием отношения растут, т. е., как следует из равенства (16-37), растет затухание а. Из схем рис. 16-9 и 16-15 непосредственно видно, что при напряжение на выходных зажимах равно нулю, т. е. затухание а равно бесконечности.

Найдем теперь частотные зависимости характеристических сопротивлений П- и Т-фильтров низких частот.

На основании (16-22), (16-23), (16-39) и опыта короткого замыкания для П-схемы получаем для

    (16-49)

Из тех же формул и опыта холостого хода для Т-схемы имеем

Частотные характеристики сопротивлений приведены на рис. 16-16. В области пропускания характеристическое сопротивление — активное. При очень малых частотах оно мало изменяется с ростом частоты и близко к значению По мере увеличения частоты и приближения ее к характеристическое сопротивление П-фильтра стремится к бесконечности, а Т-фильтра — к нулю.

В области затухания при достаточно большой величине в формулах (16-49) и (16-50) можно пренебречь под корнем единицей по сравнению с .

Тогда получим:

Отсюда следует, что при достаточно высоких частотах для П-фильтра индуктивное сопротивление катушки возрастает настолько, что характеристическое сопротивление определяется только емкостным сопротивлением входного конденсатора . Аналогично для Т-фильтра при достаточно высоких частотах характеристическое сопротивление стремится к величине индуктивного сопротивления катушки

Рис. 16-17.

Применение той или иной схемы фильтра определяется условиями его работы и предъявляемыми к нему требованиями.

Например, пусть к линии, представляющей собой одновременно два канала связи — канал низкой и канал высокой частот, — нужно подключить какой-нибудь аппарат низкой частоты. Это можно сделать, как показано на рис. 16-17, при помощи низкочастотного фильтра, включаемого между линией и аппаратом. Низкочастотный фильтр пропустит в аппарат токи низкой частоты и не пропустит токи высокой частоты. Фильтр может быть собран по Т- и П-схемам. Однако в данном случае целесообразнее выбрать Т-схему, так как для П-схемы токи высокой частоты без всякой необходимости замыкаются через входной конденсатор что может ухудшить работу канала высокой частоты.

Соединение в каскад ряда П- или Т-схем дает многозвенный фильтр.

Как общее свойство всех фильтров, отметим, что включение в каскад ряда звеньев увеличивает крутизну кривой затухания фильтра. При соединении в каскад звеньев с одинаковым характеристическим сопротивлением общее затухание фильтра равно сумме затуханий отдельных звеньев. Однако, как показывает более подробное исследование, из-за активных сопротивлений затухание всего фильтра растет не пропорционально числу звеньев, а несколько медленнее. Например, если затухание одного звена равно а, то двухзвенного фильтра — 1,65 а, а трехзвенного — 2,6 а.

При учете активного сопротивления звеньев зависимости затухания а и фазы b от частоты определяются следующим путем.

На основании (16-39) для Т- и П-схем

    (16-51)

Так как в общем случае — комплексные, то левую часть равенства (16-51) можно представить в виде

Приравнивая в отдельности вещественные и мнимые части, получаем:

Возводя последние равенства в квадрат и заменяя во втором из них синусы через косинусы, будем иметь:

или

Прибавляя к обеим частям последнего равенства ± и извлекая квадратный корень, получаем:

Здесь знаки минус должны быть отброшены, ибо а всегда больше плюс единицы, и формулы должны быть верны при любых по модулю значениях а и b.

Решая эти два уравнения, найдем :

    (16-53)

Полученные выражения позволяют по заданным параметрам П- или Т-схем найти М и N, затем и по ним коэффициенты затухания а и фазы b. Но найдем два значения фазы .

Какое из них взять, решим подстановкой найденных значений а и b в формулу (16-51). Отметим, что затухание в области пропускания уже не равно нулю и будет тем больше, чем большим активным сопротивлением обладает фильтр.

Если построить частотные характеристики затухания а и фазы b с учетом активного сопротивления, то излома в точке не получается. Семейства их в зависимости от параметра приведены на рис. 16-18 и 16-19, причем значение соответствует идеальному фильтру (рис. 16-10); по оси абсцисс для упрощения вычислений отложено не

Рис. 16-18.

Рис. 16-19.

Параметр определяется соотношением

где - добротности катушки и конденсатора (см. §3-22 и 3-21).

Чем больше потери в фильтре, тем значительнее отличается угол от 180° и тем существеннее отклоняются кривые а и b для реальных фильтров от идеализированных. Если, например, при Добротности то . При получаем . Эти вычисления показывают, что ввиду близости к 180° частотные характеристики реальных и идеальных фильтров очень близки.

Для расчета низкочастотного фильтра обычно задают область пропускания от 0 до т. е. частоту

и параметр равный характеристическому сопротивлению фильтра при частоте

Из (16-54) и (16-55), зная , легко найти L и С:

(страница отсутствует)

(страница отсутствует)

и параметр равный характеристическому сопротивлению фильтра при

    (16-64)

Из (16-63) и (16-64) найдем:

    (16-65)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление