Главная > Схемотехника > Основы теории цепей
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

14-2. Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме

Рассмотрим иепь (рис. 14-1), которая была подключена к источнику и в момент переключается к источнику

Закон Ома для мгновенных значений после переключения запишется так:

Нижний предел интеграла, равный берется в том случае, к моменту переключения рубильника режим в цепи установился, т. е. к источнику э. д. с. цепь была включена в момент времени (только этих условиях режим к моменту переключения рубильника теоретически мог установиться).

Если к моменту переключения режим не установился, то в качестве нижнего предела нужно брать —k, где k — время, прошедшее с момента включения источника до момента

Рис. 14-1.

Постановка у интеграла нижнего предела, равного — или имеет целью подчеркнуть, что в момент коммутации конденсатор уже был заряжен, т. е.

    (14-16)

где — напряжение на емкости в момент переключения, т. е. при

Чтобы перейти от закона Ома, записанного для мгновенных значений (оригиналов), к его выражению в операторной форме, нужно в соответствии с формулой (14-1) поступить так: умножить обе части равенства (14-15) на и проинтегрировать от нуля до Тогда получим:

Полагая, что

и учитывая формулы (14-4), (14-7) и (14-16), получаем следующее алгебраическое уравнение:

откуда получается закон Ома в операторной форме для цепи

Последнее равенство справедливо и в том случае, когда процесс переключения рубильника еще не был установившимся. В обоих случаях под надо понимать ток в индуктивности и напряжение на емкости в момент переключения рубильника. Заметим,

что соответствии со сказанным выше нужно было бы писать Но так как ток в индуктивности и напряжение на емкости не изменяются скачком при будем писать короче

Выражение, стоящее в знаменателе, назовем полным сопротивлением цепи в операторной форме или операторным сопротивлением

    (14-18)

Сопротивление в операторной форме уже встречалось в § 13-14 и теперь получено вполне строго. Напомним, что сопротивление цепи в операторной форме построено так же, как ее комплексное сопротивление, если в последнем заменить через . Величина, обратная операторному сопротивлению, называется операторной проводимостью:

Операторная э. д. с. цепи, стоящая в числителе (14-17), состоит не только из операторного выражения внешней но и еще из двух слагаемых, которые определяются начальными условиями, т. е. током в индуктивности i и напряжением на емкости . Иными словами, наличие двух дополнительных которые можно назвать внутренними или расчетными э. д. с., указывает на то, что в магнитом поле катушки и в электрическом поле конденсатора в момент коммутации была запасена энергия. Положительные направления этих э. д. с. выбраны совпадающими с положительным направлением тока ветви.

Заметим, что, как и ранее, положительные направления тока и напряжения на конденсаторе считаются совпадающими. Если же до коммутации конденсатор был заряжен и, стало быть, положительное направление напряжения на нем до коммутации было задано, а положительное направление тока через конденсатор выбрано противоположным положительному направлению внутренняя или расчетная э. д. с., обусловленная емкостью, должна быть взята с обратным знаком, т. е.

Особенно просто выглядит выражение (14-17) при нулевых на чальных условиях, т. е. при

    (14-19)

Тогда оно полностью аналогично закону Ома в комплексной форме.

Для любого узла разветвленной цепи

поэтому, обозначив изображения токов на основании (14-1) получим первый закон Кирхгофа в операторной

форме,

    (14-20)

для любого замкнутого контура, состоящего из ветвей,

Полагая

и повторяя все рассуждения, которые были сделаны при записи закона Ома в операторной форме, получаем второй закон Кирхгофа в операторной форме:

что можно переписать так:

    (14-21)

В последних выражениях — начальные значения токов в катушках индуктивности и напряжений на конденсаторах в соответствующих ветвях.

Особенно просто запишется второй закон Кирхгофа при нулевых начальных условиях, т. е. при

    (14-22)

В такой записи он полностью аналогичен второму закону Кирхгофа в комплексной форме.

Итак, закон Ома, первый и второй законы Кирхгофа в операторной форме аналогичны по форме своей записи тем же законам в комплексной форме для цепи гармонического тока. Нужно только иметь в виду, во-первых, что в каждой ветви при ненулевых начальных условиях, т. е. при , действует не только внешняя , но еще и внутренняя или расчетная положительное направление кото рой выбрано совпадающим с положительным направлением тока в этой ветви и, во-вторых, что в качестве сопротивления ветви берется ее операторное сопротивление.

Найдем, например, ток при переключении ветви (рис. 14-1) от источник синусоидальной к источнику постоянной с

На основании закона Ома в операторной форме имеем

где надо найти, рассчитав цепь в установившемся режиме до коммута

Оригинал для , т. е. ток i, определим при помощи теоремы разложения Сначала вычислим корни уравнения которые примем для определенности вещественными и различ ными

Затем найдем

Подставим эти результаты в формулу (14-10)

или после простых преобразований

Рис. 14.2

Как и следовало ожидать, принужденной составляющей в составе тока свободныи ток состоит из двух экспонент с коэффициентами затухания Для цепи с нулевыми начальными условиями во всех ветвях (рис. 14-2) изо бражение тока, например, во второй ветви найдем из очевидного соотношения

Здесь — взаимная операторная проводимость ветвей 2 и 1 Изображение гармоническои (см. приложение 2)

— довольно сложное. Зная, что эта э. д. с. представляет собой мнимую часть комплекса можно оперировать с мгновенной комплексной э. д. с.

изображение которой хотя и является комплексной функцией , все будет значительно более простым

Для пояснения расчетов с такими изображениями рассмотрим сначала неразветвленную цепь с нулевыми начальными условиями, в которой после коммутации дейстствует один источник По закону Ома в операторной форме комплексное изображение тока

    (14-24)

комплексный оригинал переходного тока

и переходный ток

    (14-246)

Если в этой цепи после коммутации кроме источника с гармонической э. д. с. действует, например, еще источник с постоянной Е и апериодическои начальные условия были ненулевые, что учитывается введением расчетных то все э. д. с., кроме , должны быть введены в числитель формулы (14 24) с множителе , т. е.

где

Только в этом случае они будут учтены при определении переходного тока как мнимой части комплексного оригинала Необходимость умножения изображении всех внешних э. д. с. (кроме синусоидальных) и внутренних дополнительных д с ветвей на распространяется также и на уравнения второго закона Кирхгофа для разветвленных цепей, если синусоидальные внешние э. д. с. заменяются их мгновенными комплексными значениями

В случае включения цепи по рис 14-2 к источнику тока при усповии i необходимо, чтобы ветвь и хотя бы одна из ветвей или не имели индуктивностей. В ветви сразу будет принужденный режим с током

Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для контура, образованного ветвями , и уравнение по первому закону Кирхгофа на точки разветвления Переписав их для изображений и учитывая, что , решим два уравнения с двумя неизвестными , т. е. наймем их изображения. Токи определим по теореме разложения или при помощи таблицы соответствий

Достаточно найти один из токов или и соответственно или так как другой ток сразу определяется по первому закону Кирхгофа.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление