Главная > Схемотехника > Основы теории цепей
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

13-10. Апериодический разряд конденсатора

Апериодическим разрядом конденсатора, заряженного до напряжения через резистор и катушку индуктивности называется разряд, при котором напряжение на конденсаторе монотонно спадает от значения до нуля, т. е. не происходит пере-Зарядки конденсатора. С энергетической точки зрения это означает, при разряде конденсатора отдаваемая им энергия лишь в малой Доле переходит в энергию магнитного поля катушки, а большая часть поглощается в резисторе. Начиная с некоторого момента времени, в тепло переходит не только оставшаяся энергия электрического

поля конденсатора, но и энергия, которая запаслась в магнитном поле катушки.

Апериодическое решение однородного дифференциального уравнения, т. е. в нашем случае апериодический характер свободной: процесса (разряда конденсатора), имеет место, если корни характеристического уравнения (13-35) вещественны, т. е. если

или

    (13-36)

Назовем критическим сопротивлением контура такое наименьшее его сопротивление, когда свободный процесс имеет еще апериодический характер:

    (13-37)

Корни вещественные и различные, если выполняется неравенство

Общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка и в частности (13-33) при различных корнях представляется в виде

    (13-38)

где при условии — вещественные постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий, а — вещественные и различные корни характеристического уравнения. Заметим, что корни обязательно отрицательны, так как свободный процесс должен быть затухающим во времени.

Согласно (13-32) ток

    (13-39)

При разряде конденсатора принужденное напряжение на емкости и ток равны нулю, поэтому их переходные значения равны свободным:

Из начальных условий при определим значения постоянных интегрирования. Подставляя начальные условия в равенства (13-38) и (13-39), получаем:

откуда

При этих значениях постоянных интегрирования напряжение (13-38) и ток (13-39)

Так как произведение корней характеристического уравнения равно его свободному члену, т. е. , то

Напряжение на индуктивности и . найдем по формуле

    (13-41)

Ток и напряжения на емкости и на индуктивности состоят из двух экспоненциальных составляющих, коэффициенты затухания которых равны и определены равенствами (13-35).

Рис. 13-18

Кривые изменения напряжений на емкости и на индуктивности тока и их составляющих приведены на рис. 13-18, а и б. Они показывают, что напряжение на емкости монотонно уменьшается с начального значения а ток, возрастая от нуля, достигает максимума, а затем также уменьшается. Касательная к кривой в начале координат горизонтальна, так как напряжение имеет максимум в начальный момент. Это следует и из второго, уже отмеченного выше начального условия i

Поскольку максимум кривой тока и точка перегиба кривой напряжения получаются в один и тот же момент времени Это время можно найти, приравнивая нулю производную

Напряжение на индуктивности изменяется от значения — так как при и ток, и напряжение на сопротивлении равны нулю и, следовательно, напряжения на емкости и на индуктивности Равны по абсолютному значению. Напряжение на индуктивности по абсолютному значению сначала уменьшается, затем проходит через нуль в момент, когда ток максимален (что следует из соотношения , и возрастает до некоторого положительного Максимума, после чего уменьшается и стремится к нулю. Пока ток

алгебраически уменьшается (в интервале от нуля до э. д. с. самоиндукции, поддерживая его, будет по закону Ленца положительной, а напряжение на индуктивности отрицательным. Когда ток начинает алгебраически возрастать, э. д. с. самоиндукции противодействует ему и будет отрицательной, а напряжение на индуктивности — положительным.

Максимум кривой и точка перегиба кривой i получаются в один и тот же момент времени что следует в свою очередь из равенства . Этот момент времени можно найти, приравнивая нулю производную .

Отметим также влияние индуктивности на протекание процесса. Из выражений (13-35) следует, что увеличение индуктивносги приводит к уменьшению абсолютных значений и, стало быть, к замедлению нарастания тока и спада напряжения на зажимах конденсатора. Наоборот, при малой индуктивности L ток растет быстро и быстро спадает напряжение на зажимах конденсатора. Такой случай фактически получается при разряде конденсатора через резистор (см. § 13-6).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление