Главная > Методы обработки данных > Основы моделирования и первичная обработка данных
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава 7. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Выше изложены основные понятия теории вероятностей, включая набор моделей законов распределения, наиболее распространенных в теории и практике статистической обработки данных. Настоящая глава посвящена описанию некоторых связей, существующих между этими понятиями и моделями, а также отдельных их свойств, полезных для понимания сущности излагаемых далее методов вероятностно-статистического моделирования и первичной обработки данных.

7.1. Неравенство Чебышева

В п. 5.6.3 мы познакомились с основной характеристикой степени случайного разброса значений случайной величины — с ее дисперсией Из смысла этой характеристики следует, что вероятность зафиксировать при наблюдении случайной величины значение, отклоняющееся от ее среднего не менее чем на заданную величину , должна расти с ростом Чем больше величина дисперсии тем более вероятны значительные отклонения значений исследуемой случайной величины от своего центра группирования Конечно, зная плотность (или полигон) распределения вероятностей можно точно вычислить вероятность событий вида а именно

Так, например, если подчиняется -нормальному закону распределения, то вероятность событий вида зависит только от того, сколько раз в заданной величине отклонения «уложится» среднеквадратическое отклонение

Однако хотелось бы уметь оценивать вероятности таких событий, опираясь только на знание величины дисперсии не обращаясь к точному знанию закона распределения анализируемого признака Именно эта задача и решается с помощью неравенства, выведенного русским математиком П. Л. Чебышевым:

где

Доказательство этого неравенства несложно:

(в случае дискретного признака доказательство проводится аналогично с заменой «элементов вероятностей» вероятностями а интегралов — соответствующими суммами).

Из хода доказательствавидно, что если распределение исследуемого признака симметрично (относительно ), то имеют место и односторонние аналоги неравенства:

Как и всякий общий результат, не использующий сведения о конкретном виде распределения случайной величины неравенство Чебышева дает лишь грубые оценки сверху для вероятностей событий вида Так, например, если оценивать вероятность события для нормального признака не зная, что он подчиняется

гауссовскому закону (т. е. используя неравенство Чебышева), то получим

Интересно сравнить эту величину с точным значением этой же вероятности, которое получается с помощью таблиц нормального распределения и равно 0,0027: мы видим, что точное значение вероятности в раз меньше ее грубой оценки, полученной на основании неравенства Чебышева.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление