Главная > Разное > Движение по орбитам
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6.2. Уравнения относительного движения

В последующих разделах при обсуждении методов специальных и общих возмущений нам понадобятся дифференциальные уравнения относительного движения тел для случаев, когда начало системы координат совпадает с центром одного из тел.

В разд. 5.2 было получено соотношение

где

Рис. 6.1.

Будем считать основным тело массы Для него уравнение движения имеет вид

а уравнения движения других тел (с массами ) имеют вид

Вычитая (6.1) из (6.2), получаем

где снова при суммировании исключается случай Поскольку

то

Следовательно,

Опуская индекс 1, получаем уравнение движения тела , относительно тела

Совокупность таких уравнений при является искомой системой уравнений относительного движения тел. Ясно, что 1) если в системе нет других тел или они пренебрежимо малы, то правая часть уравнения становится равной нулю и в результате получается уравнение задачи двух тел (уравнение движения , относительно ) первый член в скобках в правой части представляет собой ускорение тела вызванное влиянием тела второй член в скобках в правой части равен взятому со знаком минус ускорению тела , обусловленному влиянием тела

Таким образом, правая часть уравнения состоит из возмущений, вносимых телами в орбиту - относительно . В планетной системе — масса Солнца, а отношение не превосходит даже для Юпитера. Уже одного этого достаточно, чтобы влияние правых частей было мало.

Рассмотрим систему трех тел (Солнце — Земля — Луна), причем начало отсчета совместим с Землей, массу Луны обозначим , а массу Солнца — Тогда

и, как известно, сила, действующая на Луну со стороны Солнца, значительно больше, чем сила со стороны Земли. Тем не менее Луна обращается вокруг Земли. Чтобы объяснить такое, кажущееся на первый взгляд парадоксальным, поведение земного спутника, надо провести более подробное рассмотрение. В правой части уравнения (6.3) стоит разность сил притяжения, действующих со стороны Солнца на Землю и на Луну. Поскольку Луна и Земля находятся от Солнца на почти одинаковых расстояниях,

эта разность мала по сравнению с членом, обусловленным притяжением Земли. Поэтому влияние Солнца можно рассматривать как возмущающее воздействие на кеплеровскую орбиту Лунь вокруг Земли.

Описанные выше примеры (планеты, движущиеся по гелиоцентрическим орбитам с взаимными возмущениями, и движение Луны по геоцентрической орбите, возмущаемой Солнцем) иллюстрируют два совершенно различных типа задач, решаемых в рамках общей теории возмущений. В первом случае в качестве малого параметра, по которому проводятся разложения в степенные ряды, используется отношение массы возмущающей планеты к массе Солнца. Во втором случае в разложениях используется малая величина, равная отношению расстояния от спутника до планеты к расстоянию от Солнца до планеты. Уже говорилось, что даже в случае, когда возмущающей планетой является Юпитер, тогда как в системе Земля—Луна—Солнце . Кроме того, применяются разложения по степеням и произведениям эксцентриситетов и наклонений.

В случае движения искусственного спутника Земли основные возмущения обусловлены несферичностью Земли и сопротивлением атмосферы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление