Главная > Разное > Движение по орбитам
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.7. Снова о задаче n тел

Дифференциальные уравнения задачи n тел представляют собой систему уравнений второго порядка, так что для полного определения поведения тел требуется знать постоянных интегрирования. Из этих постоянных было найдено только десять.

Используя десять полученных интегралов, можно понизить порядок системы: начало отсчета переносится в центр масс системы, а затем при помощи интегралов площадей и энергии получается система уравнений порядка Если исключить время, взяв в качестве независимой какую-нибудь другую переменную, и осуществить так называемое исключение узлов (по Якоби), то порядок системы можно понизить до . Тем не менее видно, что даже в случае порядок оставшихся уравнений,

которые должны быть решены, равен шести. Общее решение задачи трех тел было получено в 1912 г. Зундманом, но оно оказалось настолько сложным, а полученные ряды сходятся настолько медленно, что для практических целей это решение бесполезно.

Следует заметить, что интегралы площадей и энергии могут быть использованы для контроля численных исследований консервативных систем. При проведении длительного численного исследования, такого, например, как выполненное несколько лет назад вычисление координат пяти внешних планет для периода времени в один миллион лет, можно, попутно вычисляя интеграл энергии системы (подставляя в него координаты и импульсы), следить за накоплением ошибок округления.

Для дальнейшего продвижения в этой области нужно обратиться к методам специальных или общих возмущений. Возможность разработки удовлетворительных теорий общих возмущений основана на очень важной теореме Коши. Эта теорема по существу утверждает, что если в некоторый момент времени материальные точки расположены на конечных расстояниях друг от друга, то система дифференциальных уравнений имеет решение в том смысле, что на конечном интервале времени координаты и скорости точек могут быть представлены сходящимися рядами.

Однако, прежде чем перейти к описанию таких методов, рассмотрим частные решения задачи трех тел, полученные Лагранжем. При этом будем следовать Дэнби [5].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление