Главная > Разное > Движение по орбитам
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.5.4. Средняя, эксцентрическая и истинная аномалии

В этом разделе будут рассмотрены средняя, эксцентрическая и истинная аномалии и связи между ними для случая эллиптической орбиты.

Радиус-вектор за период Т поворачивается на радиан, поэтому для средней угловой скорости (среднего движения) справедлива формула

Соотношение

можно переписать в виде

Рис. 4.6.

Если — момент прохождения через перигелий, то радиус-вектор, вращающийся вокруг S со средней угловой скоростью , за время опишет угол

    (4.49)

Введенная таким образом величина М называется средней аномалией.

Построим на как на диаметре окружность (рис. 4.6) и проведем через точку Р на эллипсе линию, перпендикулярную большой оси АА, до пересечения с окружностью в точке Q. Угол обычно обозначаемый Е, называется эксцентрической аномалией и связан с истинной аномалией

Имеем

но

следовательно,

Кроме того, в силу свойств эллипса имеет место соотношение

    (4.51)

В результате получаем

или

Возводя в квадрат (4.50) и (4.52) и складывая, находим

    (4.53)

Имеем

откуда

Используя (4.50) и (4.53), получаем

и аналогично

Разделив (4.55) на (4.56), окончательно находим

Эксцентрическая аномалия Е и средняя аномалия М связаны между собой важным уравнением, называемым уравнением Кеплера. Выведем его.

Из второго закона Кеплера имеем

или

или, используя (4.47),

С другой стороны, имеем

Если разделить площадь RPA на узкие полосы, параллельные малой оси, и воспользоваться свойством (4.51), то можно показать, что

.

Тогда, воспользовавшись (4.50) и (4.52), получаем

Если сравнить (4.58) и (4.59), то видно, что имеет место связь

Это и есть уравнение Кеплера. Следует отметить, что здесь и и М измеряются в радианах.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление