Главная > Разное > Движение по орбитам
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

15.6. Основные теоремы звездной динамики

Пусть U — гравитационный потенциал в точке звездного скопления, имеющей радиус-вектор . Тогда сила на единицу массы в этой точке имеет компоненты, определяемые уравнением или, переходя к прямоугольным осям,

Эти уравнения можно также записать в форме

    (15.19)

где могут рассматриваться как координаты и компоненты скорости звезды.

Через малый интервал времени координаты звезды и компоненты скорости примут значения соответственно; тогда для координаты и соответствующей компоненты скорости мы можем написать

    (15.20)

Аналогичные соотношения записываются для координат у и и соответствующих компонентов скорости.

Пусть звезды (числом ), которые занимали элемент объема фазового пространства теперь заполняют элемент объема причем

и

Теперь

Используя (15.20), можно выписать якобиан J в таком виде:

В первом порядке по dt это выражение сводится к 1. Отсюда

Теперь с учетом (15.14) мы имеем

Полагая получаем

    (15.23)

Разлагая (15.23), согласно теореме Тейлора, с точностью до членов первого порядка и сравнивая (15.22) и (15.23), находим

    (15.24)

или

    (15-25)

как (15.24), так и (15.25) принимают форму уравнения Больцмана. При выводе формул мы молчаливо предполагали, что эффект сближения пренебрежимо мал по сравнению с эффектом от потенциала U, создаваемым системой как целым. Это эквивалентно пренебрежению столкновениями молекул в кинетической теории газов.

Введем теперь оператор определяемый соотношением

здесь x, поочередно обозначает — производная Стокса (т. е. полная производная по времени) функции в -мерном фазовом пространстве. Из уравнений (15.19) и (15.24) мы видим, что

    (15.26)

Теперь, поскольку число точек не меняется со временем, мы имеем

    (15.27)

Но так что из уравнений (15.26) и (15.27) следует это представляет собой повторение соотношения (15.21)

Это — формулировка теоремы Лиувилля, с которой мы уже встречались в гл. 5. Теорема утверждает, что при движении динамической системы любой объем фазового пространства остается неизменным.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление