Главная > Разное > Движение по орбитам
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

11.3.7. Переход между частицами, движущимися по орбитам в центральном поле сил

Задача перехода с одной орбиты на другую в центральном поле сил обычно осложняется тем, что и начальная, и конечная точки сами движутся по орбитам (например, две планеты, обращающиеся по орбитам вокруг Солнца). Если пренебречь гравитационными полями этих тел, предполагая, что их массы бесконечно малы, то орбита перехода между двумя планетами должна пересекать орбиту планеты-цели в той точке, в которую она в этот момент времени приходит.

Основные характерные черты этой задачи снова можно продемонстрировать на простом примере. Пусть две частицы обращаются по круговым компланарным орбитам с радиусами вокруг тела массы М (рис. 11.8), и пусть в момент они имеют долготы соответственно (долгота измеряется от направления на точку весны Т). Задача состоит в выборе для космического аппарата орбиты перехода от частицы Я, к частице

Угловые скорости частиц , определяются как

    (11.64)

так что долготы частиц в момент t равны соответственно

    (11.65)

Время, в течение которого аппарат движется по орбите перехода, должно быть равно времени, в течение которого частица движется до точки пересечения орбиты перехода с конечной орбитой.

Следовательно, эта точка С расположена впереди положения (точки В) в момент начала движения аппарата от в точке А.

Если то время перехода определяется по формуле

    (11.66)

Далее следует установить допустимую продолжительность перехода и допустимые затраты топлива.

Рис. 11.8.

Если экономия топлива является главным требованием, то орбита перехода будет касательным эллипсом между орбитами и (если — см. разд. 11.3.2). Время перехода получается из (11.16) и (11.24) и равно

Тогда в силу (11.66) получаем

Долгота частицы в момент старта аппарата на радиан меньше долготы частицы в момент достижения ее аппаратом. Таким образом, в момент старта аппарата долгота одной частицы отличается от долготы другой на (я — 0) радиан или на величину определяемую по следующей формуле:

В силу (11.65) имеем

    (11.69)

Если в (11.69) приравнять правой части (11.68), то полученные в результате уравнения могут быть использованы для нахождения значений t. Эти значения определяют все будущие эпохи, в которые аппарат может начинать движение по касательной орбите перехода от к Очевидно, в данной задаче эти эпохи отличаются на интервал времени , называемый синодическим периодом одной частицы относительно другой и равный промежутку времени, который проходит между последовательными геометрически подобными конфигурациями частиц центрального тела.

Синодический период легко находится из условия, что за один синодический период радиус-вектор движущегося с большей скоростью тела опережает радиус-вектор второго тела на 360° ( радиан). Отсюда

или, используя сидерические периоды обращения частиц определяемые соотношением получаем

При обратном переходе по касательному эллипсу от эпохи, соответствующие последовательным допустимым конфигурациям системы, отличаются на такой же период. Время перехода должно быть таким же, как и для перехода от , а угол между радиусом-вектором в момент старта аппарата с и радиусом-вектором точки встречи с определяется по формуле

Тогда при соответствующей конфигурации тел отличие в долготе должно равняться

Таким образом, получаем

    (11.72)

Соотношение (11.71) может быть использовано вместе с (11.72) для вычисления допустимых эпох для обратного перелета. Для того чтобы найти продолжительность полета «туда и обратно», надо определить интервал ожидания между моментом возвращения в В и первым допустимым моментом старта и прибавить к нему

Минимальное время ожидания может быть легко получено из соображений симметрии. Если в момент окончания перехода от тело опережает на а градусов (рис. 11.9, о), то в первый допустимый для начала обратного перехода от момент времени тело должно на а градусов отставать от Отсюда получаем

Если же в момент завершения перехода от тело отставало от на градусов (рис. 11.9, б), то первый допустимый для возвращения от к момент наступит тогда, когда достигнет точки на а градусов впереди

Рис. 11.9.

В этом случае имеем

Чтобы вычислить а, заметим, что в силу уравнения (11.65)

Пусть частицы в момент старта имели долготу соответственно , а в момент возвращения . Тогда

и, следовательно,

    (11.75)

Угол а определяется из соотношения

    (11.76)

где — целое число, большее или равное нулю. Если а положительно, то определяется из (11.73), если отрицательно, то из (11.74).

Время ожидания когда перелет осуществляется от частицы на внешней орбите к частице на внутренней орбите и обратно, определяется по формуле

    (11.77)

где — средние движения на внутренней и внешней орбитах соответственно. В основе этого результата лежит тот факт, что в течение перехода к внутренней частице долгота внешней частицы увеличивается на угол , меньший 180°. Поэтому ближайший момент времени, когда можно начать обратный переход, наступит тогда, когда разность долготы внешней частицы и долготы внутренней частицы увеличится на угол . Таким образом, минимальное время ожидания равно

Если мы в состоянии затратить на переход большее количество топлива, то можно не только сократить время перехода, но и время ожидания в точке В. Задача отыскания подходящей стартовой конфигурации является не намного более сложной, поскольку, раз уж орбита перехода выбрана, продолжительность перехода, как и раньше, диктует необходимую конфигурацию. Задача усложняется, если надо осуществить переход между двумя некомпланарными эллиптическими орбитами, имеющими различную долготу перицентра, однако и тогда орбита перехода может быть найдена при помощи формул задачи двух тел.

При большем количестве топлива выбор орбиты становится значительно более гибким. Тогда может быть поставлена задача оптимизации орбиты перехода по расходу топлива, чувствительности к ошибкам, времени перехода и времени суммарного полета «туда и обратно». Решением такой задачи занимались многие исследователи.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление