Главная > Разное > Движение по орбитам
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

10.5. Использование теории Гамильтона—Якоби в задаче движения искусственного спутника

В разд. 6.9 было рассмотрено применение теории Гамильтона—Якоби к задаче многих тел. Было показано, что в первом приближении функция Гамильтона берется с потенциалом так что невозмущенное решение, получаемое из известного решения S уравнения Гамильтона—Якоби, приводит к обыкновенному кеплеровскому эллипсу. Возмущенный гамильтониан дает новые канонические уравнения, определяющие изменения со временем прежних канонических постоянных, полученных в первом приближении.

Тот же самый невозмущенный гамильтониан можно использовать при решении задачи о движении искусственного спутника, когда возмущенный гамильтониан определяется второй, третьей и т. д. гармониками, исключенными из невозмущенного решения. Однако Штерн 114] и Гарфинкель [2, 3] показали, что можно использовать и невозмущенный гамильтониан включающий основную часть эффектов сплюснутости и приводящий к уравнению Гамильтона—Якоби с разделяющимися переменными, которое можно разрешить.

Штерн и Гарфинкель применяли различные функции однако в обоих случаях возмущенный гамильтониан Ну состоял из оставшейся части второй гармоники и гармоник более высокого порядка и не содержал вековых возмущений первого порядка. Из-за отсутствия места мы сможем дать лишь краткий очерк подхода, использованного Штерном.

Штерн выбрал в качестве функции Гамильтона, для которой можно получить точное решение, следующее выражение:

    (10.21)

Здесь определяются, как показано на рис. 10.4; — сопряженные с моменты; — произвольные функции Радиуса-вектора и склонения соответственно.

Можно без труда показать, что уравнение Гамильтона—Якоби с функцией (10.21) имеет разделяющиеся переменные и его решение таково:

    (10.22)

где

— перигейное расстояние.

Канонические постоянные (на единицу массы рассматриваемой частицы) имеют соответственно смысл полной энергии, полного момента количества движения по орбите при и компоненты момента количества движения, направленной вдоль оси.

Тогда каноническое решение приобретает вид (см. разд.

    (10.23)

здесь — расстояние перигея, а канонические постоянные соответственно (отрицательный) момент времени прохождения перигея, выбранный за исходный; аргумент наклонения в перигее при и прямое восхождение выбранного восходящего узла на экваторе.

Теперь видно, что

является хорошим приближением действительного потенциала Земли, поскольку опущенные члены ( и т. д.) примерно в раз меньше, чем член с

Штерн выбрал в качестве невозмущенного гамильтониана функцию

которая имеет такую же форму, как и уравнение (10.21).

В (10.24) постоянная i представляет собой максимальное наклонение частицы, в то время как постоянная ) — это удвоенное произведение расстояний апогея и перигея, разделенное на их сумму. После этого возмущенный гамильтониан определяется как

и имеет следующий вид:

Он определяет канонические уравнения для прежних канонических постоянных

Следует заметить, что может содержать любую гармонику, которой раньше пренебрегали, но при частном дифференцировании все его члены должны рассматриваться как функции канонических постоянных и времени. Исключениями являются введенные в уравнение (10.24) в качестве постоянных.

Следующий шаг состоит в вычислении четырех интегралов, входящих в (10.23). Эти интегралы оказываются эллиптическими интегралами; их легче всего вычислить, сначала разлагая в ряды, а затем интегрируя почленно (см. [14]).

Невозмущенное решение, полученное таким образом, при небольшой подгонке значений двух из его канонических постоянных имеет тот же порядок точности, что и общеупотребительная кеплеровская орбита с учетом возмущений первого порядка.

Фактически, когда к решению Штерна добавляются возмущения первого порядка, то оказывается, что оно во всех отношениях

конкурирует с общепринятым выражением плюс возмущения первого и второго порядков. Эта работа Штерна, а также анализ Гарфинкеля той же самой задачи, показывает преимущества теории Гамильтона—Якоби, когда она применяется к задачам подобного типа.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление