Главная > Разное > Движение по орбитам
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

10.2.2. Формула Клеро

Теперь рассмотрим в общем виде соображения, приводящие к выводу, что фигура Земли приближенно описывается сплюснутым сфероидом. С этой целью мы выведем формулу Клеро для силы тяжести.

Пусть U — потенциал земного поля тяготения, угловая скорость вращения Земли относительно полярной оси. Если выбранная нами поверхность является эквипотенциальной и находится в равновесии, то величина U, определяемая как

будет постоянной на этой поверхности — соответственно радиус-вектор и угол, который радиус-вектор образует с экваториальной плоскостью).

Отсюда видно (см. разд. 6.5), что потенциал тяготения можно записать в виде

Пренебрегая членами более высокого порядка, имеем

Величину можно рассматривать как возмущающий потенциал, вызванный вращением Земли. Если теперь положить

где — малая величина, экваториальный радиус Земли, тогда путем подстановки в (10.2) мы получаем

Подставляя вместо разлагая по формуле бинома и пренебрегая степенями вчше первой, получаем уравнение

Если пренебречь произведениями малых величин и , то

Представляя m как мы видим, что m — это отношение центробежной силы на экваторе к силе тяготения на экваторе. Тогда

Теперь уравнение сплюснутого сфероида записывается как

где а и — полуось и эксцентриситет эллиптического сечения, проходящего через полярную ось. Сжатие (сплюснутость) определяется как

или

Поэтому соотношение (10.6) можно записать в виде

Разлагая это выражение с помощью формулы бинома и ограничиваясь членами порядка мы получаем

или

    (10.7)

Сравнивая выражения (10.3), (10.5) и (10.7), мы видим, что с точностью до членов первого порядка по равновесная поверхность представляет собой сплюснутый сфероид, определяемый уравнением

где

Если может быть измерено, а оказывается известным, то можно найти разность между полярным и экваториальным моментами инерции. Сплюснутость выводится из измерений силы тяжести, а также из движения искусственных спутников.

Если теперь найти , то мы получим ускорение, определяемое тяготением. С той же точностью по порядку малых величин, с которой мы работали до сих пор,

    (10.10)

Используя (10.8) и исключая (С — А), находим после небольших сокращений

или

    (10.11)

где (значение силы тяжести на экваторе) определяется как

Формула (10.11) представляет собой уравнение Клеро; она показывает, что в первом приближении значение силы тяжести увеличивается пропорционально квадрату синуса широты. Следует заметить, что мы не делали никаких предположений относительно внутреннего строения Земли.

Наблюдения предварения равноденствий дают информацию о значении величины называемой динамическим сжатием Земли. Используя уравнение (10.9), оказывается возможным вывести значение .

Эри, Калландро и другие ученые развили теорию Клеро с точностью до членов второго порядка. Тогда формула для g принимает вид

где , а — геодезическая или географическая широта. При этом не учитывается, что — значение силы тяжести на экваторе, не исправленное за эффект вращения. Если же учесть эту поправку, то значение становится равным 981,43 см/с2.

Разность между географической широтой и геодезической широтой определяется формулой

Вводя в формулу (10.7) географическую широту, нетрудно показать, что эта формула принимает вид

Используя параметры Международного эллипсоида, получаем

Наконец, мы можем видоизменить III закон Кеплера для спутника на круговой орбите, обращающегося вокруг сплюснутой планеты в плоскости экватора. Гравитационное ускорение спутника получается из (10.10), если исключить член с и положить тогда

где — планетоцентрическое расстояние спутника. С учетом имеем

После этого вместо простого соотношения для двух точечных масс а именно

заменяя на

получим

если пренебречь массой спутника и вспомнить, что

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление