Главная > Разное > Движение по орбитам
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6.5. Потенциал тела произвольной формы

Рассмотрим два тела и Р с массами (рис. 6.3). Тогда, как и раньше,

где

Потенциал U в точке Р, создаваемый телом с массой имеет вид

Следовательно,

где

Если теперь предположить, что в конечном объеме имеется несколько тел с массами , то для потенциала в точке Р справедлива формула

и снова имеет место соотношение

Величину U часто называют ньютоновским потенциалом. До сих пор в задаче тел рассматривались только точечные массы; теперь перейдем к рассмотрению случая, когда одна или несколько масс представляют собой твердые тела конечного размера. Для простоты рассмотрим потенциал в точке, создаваемый одним твердым телом произвольной формы с произвольным распределением масс, причем взятая точка расположена вне тела (рис. 6.4).

Рис. 6.3.

Потенциал в Р, создаваемый элементом массы ДМ, расположенным внутри тела в точке Q на расстоянии от центра масс О, имеет вид

и, следовательно, потенциал в Р от всего тела равен

Здесь интеграл берется по всему телу.

Пусть координаты точек Р и Q относительно фиксированных в теле осей с началом в О будут соответственно . Тогда

и

Рис. 6.4.

Из (6.12), (6.13) и (6.14) получаем

Вводя по формулам

где, как легко видно, 0 представляет собой угол POQ, можно написать

Тогда

Поскольку по определению , то квадратный корень можно разложить в ряд. В результате получаем

так как можно вынести из-под знака интеграла. Здесь

Здесь — полиномы Лежандра — функции, часто встречающиеся в математической физике (см. приложение II).

Теперь уравнение (6.15) можно переписать в виде

где

и задача сводится к тому, чтобы вычислить эти интегралы. Имеем

Поскольку точка О является центром масс тела, то

следовательно,

где X — проекция p на OP. Если проекции p на другие оси, дополняющие ОР до прямоугольной тройки, равны Y и Z, то

Кроме того, моменты инерции тела относительно осей и ОР равны соответственно

и

Тогда (6.16) принимает вид

Форма большинства небесных тел очень близка к сфере, поэтому мало по сравнению с

Формула для потенциала, в которой учтены только а именно

называется формулой Мак-Калуфа. Для большинства астрономических задач она достаточно точна.

Если тело является шаром, то

и

т. е. получился потенциал материальной точки массы М. Это указывает на то, что шар массы М с радиально-симметричным (сферическим) распределением плотности имеет такой же потенциал, как если бы вся его масса была сконцентрирована в центре. Впервые этот результат был получен Ньютоном.

При вычислении этого интеграла мы придем к сложному выражению, содержащему интегралы вида

где а, b и с — положительные целые числа и

Если тело симметрично относительно всех трех координатных плоскостей (например, однородный эллипсоид с тремя неравными осями), то все такие интегралы равны нулю, так что Более того, в этом случае в ноль обращаются все V с нечетными индексами, т. е.

Исследования, проводимые с использованием искусственных спутников, показали, что для Земли это условие не выполняется. Земля имеет слегка грушевидную форму, так что хотя и мало, но нулю не равно.

Действуя таким образом, можно показать, что гравитационный потенциал тела в любой точке можно представить в виде суммы различных потенциальных функций, зависящих от положения точки, формы тела и распределения масс. Во все потенциальные функции в качестве сомножителей входят различные обратные степени расстояния от точки до центра масс тела. Кроме того, поскольку Солнце, планеты и спутники представляют собой по существу сферические тела, то их с высокой степенью точности можно аппроксимировать точечными массами (т. е. за потенциал принимать потенциальную функцию нулевого порядка ). Член приходится учитывать только при рассмотрении движения спутника вокруг сплюснутой планеты или при исследовании прецессии и нутации. Член и члены более высоких порядков принимаются во внимание при рассмотрении движения близких искусственных спутников.

Удобно ввести полярные координаты уже определено, а — долгота и широта точки или спутника). Тогда

Выражение для после небольшого упрощения принимает вид

Если тело обладает симметрией относительно оси , но не обязательно симметрично относительно экватора (т. е. оно может иметь форму груши), то А равно В и

Потенциал Земли на расстоянии от ее центра масс можно аппроксимировать выражением

где постоянные J, Н и К называются коэффициентами второй, третьей и четвертой гармоник гравитационного потенциала Земли; R — экваториальный радиус Земли, М — масса Земли. Если предположить, что Земля является сфероидом, то ее потенциал можно разложить по сферическим функциям

где — полиномы Лежандра. Первые три полинома имеют вид

При этом началом координат считается центр масс Земли.

Впервые этот результат был получен Лапласом. Заметим, что если в уравнении (6.17) положить

то получится то же самое.

В гл. 10 будет показано, как при помощи изучения орбит искусственных спутников можно находить эти коэффициенты и коэффициенты более высоких порядков (см. также приложение II).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление