Главная > Физика > Введение в фурье-оптику
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.7. КРИСТАЛЛЫ В КАЧЕСТВЕ ТРЕХМЕРНЫХ РЕШЕТОК

В кристаллах группа атомов (иногда, как в некоторых металлах, только один атом) тождественно связана с каждым узлом регулярной пространственной решетки. Период решетки обычно составляет от 1 до 10 нм, хотя в кристаллах органических веществ, например, это значение существенно больше, поскольку в них с каждым узлом решетки связано очень много атомов. Поскольку длины волн рентгеновских лучей лежат в пределах приблизительно от до 10 нм (см. приложение Г) и они рассеиваются (или дифрагируют, эти термины, как указано в разд. 1-3, используются на равных правах) электронными облаками атомов, кристаллы действуют подобно трехмерным дифракционным решеткам

Рис. 2.14. Кристаллическая структура в качестве примера трехмерной дифракционной решетки.

для рентгеновских лучей. Опыт Лауэ, поставленный в 1912 г., продемонстрировал реальность такой интерпретации, позволяя предположить в противовес некоторым воззрениям того времени, что рентгеновские лучи являются волнами или по крайней мере обладают волновыми свойствами. За это Максу фон Лауэ в 1914 г. была присуждена Нобелевская премия по физике. В следующем году премия была присуждена У. Л. Брэггу и его отцу У. Г. Брэггу за то, что они незамедлительно применили эффекты дифракции к анализу кристаллической структуры рентгеновскими лучами, который стал в настоящее время предметом рентгеновской кристаллографии. Как мы уже отмечали, изображение атомов нельзя построить непосредственно путем фокусировки рентгеновских лучей. Этот процесс должен выполняться косвенно на основе информации о дифракционных эффектах.

Поскольку кристалл подобен трехмерной решетке, а не одно- или двухмерной, то условия, необходимые для возникновения эквивалента главных максимумов в оптической дифракции, удовлетворяются не столь легко. Рассмотрим единичную ячейку кристаллической решетки, изображенную на рис. 2.14, а. Представим, что кристалл пронизывается цугом квазимонохроматических волн с длиной волны X. Каково основное требование, необходимое для получения дифракционного максимума в некотором направлении? Оно состоит в том, что рентгеновские лучи, рассеянные в данном направлении (идентичными) ансамблями атомов с центрами в узлах решетки А, В и С, должны совпадать по фазе с лучами, рассеянными ансамблем в точке О. Тогда рассеянные этими центрами волны будут находиться в фазе с рассеянными от соседних узлов и так далее по кристаллу. Совсем не обязательно, чтобы в узле решетки располагался только один атом. Это требование не влияет на возможность существования дифракционного максимума, так как все связано с периодом решетки - расстоянием между соответствующими атомами, расположенными одинаково по отношению к последовательным узлам кристаллической решетки. Разумеется, узел решетки,

о которой идет речь, является чисто воображаемой точкой и ее расположение относительно ансамбля атомов произвольно, хотя другие условия, такие, как симметрия, влияют на ее выбор. С другой стороны, интенсивность дифракционного максимума зависит от взаимного расположения атомов в ансамбле, и мы обсудим этот вопрос в данном разделе ниже.

Рассмотрим повторяемость узлов решетки в направлении а кристалла (рис. 2.14, б). Для рентгеновских лучей, падающих в направлении, характеризуемом единичным вектором излучение, рассеянное от ансамбля, связанного с одним из узлов решетки, в направлении с единичным вектором s, будет находиться в фазе с рассеянием от следующего узла, если

где h - целое число или нуль, вектор смещения решетки. Не обязательно, чтобы s или лежали в плоскости рисунка.

Для идеальной трехмерной решетки одновременно должны выполняться следующие три условия:

где h, к, l - целые числа или нуль, а, b, с - векторы смещения решетки. Заметим, что решетка необязательно должна быть ортогональной.

При фиксировании ориентации кристалла относительно направления падения рентгеновского пучка выполнение вышеприведенных условий более чем для нескольких дифракционных максимумов маловероятно, если только, как в первоначальном опыте, не используется непрерывный спектр рентгеновских волн. Однако отсутствие информации о длине волны, ответственной за какой-либо конкретный дифракционный максимум, является очевидным недостатком. Если не считать исследований определенных типов, теперь в практике повсеместно используется квазимонохроматическое излучение и при просвечивании рентгеновским пучком наклон кристалла постепенно меняется с тем, чтобы обеспечить выполнение условий Лауэ. Здесь нет необходимости касаться детально того, как это осуществляется на практике. Достаточно сказать, что существует возможность получения трехмерной дифракционной картины от кристалла. Она образует трехмерную структуру, которая взаимосвязана со структурой кристалла, как и в случае двухмерных решеток, рассмотренных в предыдущем разделе.

Направления дифракционных рентгеновских максимумов от кристалла определяются для заданной длины волны рентгеновских лучей размерами кристаллической решетки. Поэтому измерения этих направлений

позволяют выявить геометрию кристаллической структуры. Аналогично интенсивности дифракционных максимумов определяются интенсивностью рассеяния в направлениях максимумов от групп атомов, тождественно связанных с каждым узлом решетки кристалла. Таким образом, эти интенсивности содержат информацию о составе и расположении атомов в группе, связанной с каждым узлом кристаллической решетки.

Все сказанное позволяет провести аналогию с процессом, благодаря которому максимумы оптической дифракционной решетки являются усиленной выборкой дифракционной картины только от одной апертуры решетки. Картина же от одной апертуры определяется ее апертурной функцией - оптической структурой апертуры.

На наше счастье мы можем получить эту усиленную выборку рентгеновских лучей, рассеянных от одиночной ячейки кристалла. Если бы даже и удалось изолировать одну ячейку кристалла и работать с ней, рассеянное ею рентгеновское излучение было бы слишком слабым для измерений. В действительности мы имеем дело с необычайно усиленными сигналами реального кристалла. Цена, которую мы платим за это, состоит в том, что сигналы ограничены некоторыми направлениями, определяемыми геометрией кристаллической решетки. Однако число этих направлений достаточно велико и позволяет построить очень детальную картину расположения атомов и распределения электронной плотности в кристаллической структуре. (Дифракция рентгеновских лучей на некристаллических веществах, таких, как стекло и жидкости, также дает информацию об их структуре, но детальное обсуждение этого вопроса остается за рамками настоящей книги.)

В гл. 5 мы увидим, что использование результатов дифракции рентгеновских лучей для определения расположения атомов в кристаллах оказывается, по существу, приложением теории формирования оптического изображения Аббе-Портера. Тесная аналогия между принципами построения изображения кристаллической структуры рентгеновскими лучами и формированием обычного оптического изображения было основным предметом интереса для сэра Лоуренса Брэгга на протяжении почти всей его жизни, предметом, в который он внес значительный вклад.

В связи с вопросами фурье - анализа, которые мы частично связывали с этим, было бы полезно получить выражение для амплитуды максимума рентгеновской дифракции от единичной ячейки кристалла. Это можно сделать с помощью концепции отражения Брэгга, с которой читатель должен быть знаком. (В приложении В показано, что дифракционный максимум, соответствующий определенному набору величин в уравнениях Лауэ, можно рассматривать как отражение падающего пучка рентгеновских лучей плоскостями структуры кристалла, заданными теми же значениями .)

На рис. 2.15 показан вид с ребра ряда плоскостей решетки, разнесенных на расстояние d. Рентгеновские лучи падают на плоскости под

Рис. 2.15. Отражение рентгеновских лучей Брэгга (L - сечение плоскости кристаллической решетки).

углом Брэгга 9, соответствующим используемой длине волны. Рассуждая в данный момент с позиции представлений о точечных атомах, можно заключить, что в любой плоскости структуры атомы синфазно рассеивают в направлении 9; это и является основой «отражения». Чтобы отражение от последовательных плоскостей кристаллической решетки происходило однофазно, должно выполняться условие Брэгга, а именно

где - порядок отражения.

Однако, как мы уже отмечали, атомы не являются точечными рассеивающими элементами и область их распределения не ограничена узлами решетки. Картину решетки следует представлять в виде непрерывного распределения рассеивающего вещества, которое регулярно повторяется по кристаллу. (Вопросы симметрии кристаллической структуры мы здесь не обсуждаем.) Рассмотрим, воспользовавшись рис. 2.15, отражение первого порядка (), связанное с параметром d кристаллической решетки. Как мы отметили выше, рассеяние от части распределения электронной плотности непосредственно в плоскостях кристаллической решетки полностью синфазно в направлении отражения, но мы должны принять во внимание и рассеяние веществом между этими плоскостями. Для отражения первого порядка получается разница на длину волны (разность фаз ) между излучением, рассеянным последовательными плоскостями решетки. Поэтому вклад в то же самое рассеянное излучение от рассеивающего вещества в плоскости Р будет отличаться по фазе на . Если представляет собой амплитуду рассеянного излучения от слоя толщиной dx на расстоянии х, то полная

амплитуда такого излучения, отраженного от всего рассеивающего вещества на одном периоде структуры решетки, дается выражением

Для отражения второго порядка при отражении от последовательных плоскостей получается разность длины пути в две длины волны, и тогда разность фаз для плоскости Р будет равна Аналогично для отражения n - го порядка будет существовать разность фаз и соответствующее уравнение принимает вид

где связано с d уравнением Брэгга (2.19).

Конечно, «отражение» может иметь место с каждой стороны последовательности плоскостей и амплитуды обьино равны (закон Фриделя). Поэтому можно считать, что это уравнение описывает амплитуду пары отражений, или, что то же самое, амплитуду пар дифракционных максимумов порядка ±n.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление