Главная > Физика > Введение в физическую акустику
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Взаимодействие упругих волн конечной амплитуды в изотропном твердом теле

Перейдем теперь к динамическим нелинейным эффектам, начав с более простого случая изотропных твердых тел. Будем считать, что статическое воздействие отсутствует, вследствие чего можно оперировать с переменными естественного состояния. Проанализируем сначала случай, когда акустические волны конечной амплитуды распространяются в одном и том же направлении (коллинеарное взаимодействие). Для этого мы должны исходить из уравнения движения (2.5) и уравнения для внутренней энергии изотропного твердого тела, упругие свойства которого определяются пятью модулями упругости — уравнение (8.1.15). Тензор при этом можно выразить либо через термодинамические напряжения либо определить непосредственно путем дифференцирования термодинамического потенциала (8.1.15) по градиентам вектора смещений (см. § 2).

Дифференцируя, получим

Из уравнений (2.5) и (3.1) найдем

где — компонента объемной «нелинейной» силы, представляющая собой величину второго порядка малости относительно градиентов смещений:

Воспользуемся теперь методом последовательных приближений, представляя смещение в виде

первое приближение, второе приближение; Подставляяя и в (3.2), получим уравнение первого приближения:

и уравнения второго приближения:

где — объемная сила, вызванная смещениями первого приближения.

Уравнения (3.4) — обычные однородные уравнения движения, определяющие величины Уравнения же второго приближения (3.5) дают нам возможность исследовать, как под действием упругой волны конечной амплитуды происходит (и происходит ли вообще) генерация гармоник продольной и поперечной волн.

Пусть в твердом теле имеется плоская волна, распространяющаяся по оси вектор смещения которой

Индексы 1, 2, 3 соответствуют смещениям по осям

Из уравнений (3.4) следует тогда, что уравнения первого приближения будут представлять собой три волновых уравнения, одно для продольной волны L со скоростью распространения и два для поперечных волн Т с различными поляризациями и скоростью . Эти волны соответствуют линейной акустической задаче; они не взаимодействуют между собой.

Для второго приближения при заданном условии будем иметь уравнения [2]

где

Рассмотрим теперь различные случаи.

1. Пусть в первом приближении имеется только одна продольная волна. При этом система уравнений (3.7) — (3.9) перейдет в одно уравнение (так как ):

Решение этого уравнения для нулевого начального условия имеет вид (если при )

где . Для скорости смещения (колебательной скорости) будем иметь

Здесь . Сравним это выражение с (3.1.27); находим, что

Таким образом, для твердых тел нелинейным параметром вместо V будет величина Г. Отметим, что значение Г для твердых тел

(металлы, щелочно-галлоидные кристаллы) колеблется от 3 до 14 (порядок тот же, что и для жидкостей). Но скорость с, в твердых телах больше, чем в жидкостях, и поэтому при прочих равных условиях амплитуда гармоники в твердых телах по крайней мере на порядок меньше, чем в жидкостях.

2. Пусть теперь в первом приближении имеется только поперечная волна, поляризованная в направлении оси г: . Из уравнений (3.7) — (3.9) следует тогда, что

т. е. что удовлетворяет однородному волновому уравнению. Поскольку, однако, при , отсюда тождественно следует и» Таким образом, при распространении плоской поперечной волны в изотропном твердом теле гармоники такой волны не образуются. Физический смысл этого будет оговорен ниже. Заметим, что полученный результат позволяет утверждать, что в изотропном твердом теле две коллинеарные поперечные волны с различными частотами также не взаимодействуют между собой. Однако в рассматриваемом случае, согласно уравнению (3.7), поперечная волна вызывает во втором приближении появление продольной волны:

Если смещения заданы на границе при в виде синусоидальной поперечной волны:

то решение уравнений первого приближения будет

где . Подставляя (3.18) в (3.16) и принимая во внимание, что найдем

Как видно из этого выражения, амплитуда появившейся второй гармоники испытывает биения в пространстве с пространственным периодом

где . Такие пространственные биения происходят из-за квазидисперсии, состоящей в том, что различны; синхронизм между поперечной волной первого приближения и генерируемой продольной волной второго приближения (вторая гармоника продольной волны) отсутствует.

3. Рассмотрим теперь случай, когда в первом приближении одновременно имеются и продольная, и поперечная волны. Такая ситуация обычно и реализуется в экспериментах с пьезокварцевой

пластинкой. Здесь возникают: гармоники продольной волны, продольная сложная волна, вызванная поперечной волной, и поперечная сложная волна (она имеет пространственную модуляцию с периодом порядка длины продольной волны). Подробнее с этим случаем можно познакомиться в [5].

При выводе формул, описывающих генерацию гармоник, нами не учитывалось поглощение звука. Если его учесть, то для амплитуды гармоники получим [21]

где — коэффициенты поглощения первой и второй гармоник продольных волн. Как видно из этой формулы, линейный рост амплитуды второй гармоники с расстоянием х имеет место только при малых при которых (3.21) переходит в (3.12). На расстоянии вторая гармоника достигает максимума и при дальнейшем увеличении х начинает убывать.

Подобным же образом рассматривается задача о генерации звука комбинационных частот — суммарной и разностной возникающих при коллинеарном распространении гармонических волн конечной амплитуды. Приведем для справок получающиеся формулы, поскольку они часто используются в экспериментальных исследованиях:

В отличие от газов и жидкостей, в твердых телах, поскольку в них могут распространяться два типа объемных волн — продольные и поперечные, кроме коллинеарного взаимодействия, которое мы до сих пор рассматривали, возможны взаимодействия при пересечении волн, или ограниченных звуковых пучков, под углом, значительно большим угла параметрического захвата (см. гл. 4, а также гл. 10).

Запишем уравнения сохранения энергии и квазиимпульса фононов — условия синхронизма или резонансные условия, с которыми мы имели дело в гл. 4 и 10:

Второе из этих условий можно записать, согласно рис. 4.1, в виде

Угол рассеяния у, под которым направлен волновой вектор рассеянной волны находится из условий (3.23) и (3.24). Он определяется выражением

    (3.26)

где скорости распространения волн 1 и 2.

Рассмотрим в качестве примера случай, когда имеется взаимодействие типа . Тогда из (3.23), (3.26) и (3.25) нетрудно найти, что

где Поскольку , то рассмотренное взаимодействие возможно лишь в том случае, когда для отношения частот b выполняется условие Подобным же образом можно рассмотреть и другие разрешенные типы взаимодействия плоских если, или фононов.

Отметим, что проведенные рассуждения дают возможность лишь установить, возможен ли данный тип взаимодействия, а также определить угол рассеяния, и не решают вопроса об амплитуде рассеянной волны. Для нахождения интенсивности рассеяния необходимо решать задачу о вероятности взаимодействия фононов. Эта задача без учета поглощения решалась в для случая коллимированных пучков и источников рассеянного поля, имеющихся только в области пересечения пучков. Рассмотрение показывает, что амплитуда смещения в рассеянной волне оказывается пропорциональной (вспомним, что рост амплитуды второй гармоники ), т. е. что рассеяние оказывается особенно сильным в области высоких частот. Другой важный вывод состоит в том, что рассеяние оказывается тем эффективнее, чем ближе по частоте взаимодействующие волны. Это состоит в согласии с тем известным фактом, что ультразвуковые волны, частоты которых значительно ниже частоты, где число тепловых дебаевских фононов максимально ( Гц), непосредственно не взаимодействуют с тепловыми фононами и что в этом случае действует механизм Ахиезера, о чем подробно говорилось в гл. 10. Более подробное рассмотрение теории комбинационного рассеяния см. в [71 и 151.

В гл. 10 мы коротко останавливались на тех условиях синхронизма, выполнение которых возможно для L- и Т-волн. Сделаем здесь еще несколько замечаний по этому поводу.

Отметим, что, например, взаимодействие разрешено согласно условиям синхронизма; однако во втором приближении, как было показано ранее, вторая гармоника сдвиговой волны при этом не генерируется. Не будет поэтому и генерации комбинационных частот. Таким образом, могут встречаться случаи, когда, несмотря на выполнение условий синхронизма, взаимодействия волн не будет. Таким образом, условия (3.23) и (3.24) являются необходимыми, но отнюдь не достаточными. Анализ показывает, что наряду с разрешенными коллинеарными взаимодействиями ) разрешенными являются еще такие неколлинеарные взаимодействия:

Заметим, что мы пока имели дело только с одними акустическимй волнами и рассматривали только фонон-фононные взаимодействия. Значительно более разнообразны взаимодействия звуковых волн с волнами другой физической природы. Имеются взаимодействия фонон-электронные, фонон-фотонные, фонон-магнонные, но о них мы будем говорить в гл. 12—14.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление