Главная > Физика > Введение в физическую акустику
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Некоторые сведения о колебаниях кристаллической решетки и фононах

Для более детального рассмотрения поглощения звука в идеальном бездефектном диэлектрическом кристалле необходимо использовать основные представления о динамике решетки такого кристалла [17, 18].

Тепловое движение в твердом теле — это колебания атомов относительно своего положения равновесия; его удобно описывать в виде газа квазичастиц — фононов. Тепловые фононы, или дебаевские кванты упругой энергии, каждый из которых представляет собой упругую плоскую гармоническую волну с энергией ( — частота теплового фонона), и квазиимпульсом — волновой вектор) имеют широкий спектр энергий, или частот (его часто называют фононным спектром). Наинизшие частоты фононов или соответственно наибольшие длины упругих волн, определяются размерами образца, наивысшие частоты — расстоянием между соседними атомами (параметром решетки а). При ( — длина волны

теплового фонона) фононный спектр естественно обрывается. На рис. 10.1 показан спектр фононов следующий из теории теплоемкости Дебая (штриховая кривая), и экспериментально полученный спектр для [19] (сплошная кривая). Изрезанность спектра связана с тем, что в упрощенной теории Дебая не учитывается анизотропия кристалла (подробнее см. [19]).

На рис. 10.2 показано, как проявляются тепловые колебания решетки на низких частотах спектра, когда длины тепловых упругих волн сравнимы с размерами образца (образец — брусок кристалла сегнетовой соли среза с размерами ).

Рис. 10.1. Идеализированный дебаевский спектр (или плотность фононных состояний) (штриховая кривая) и спектр для измеренный экспериментально [19].

Рис. 10.2. Спектр тепловых шумов пьезобруска сегнетовой соли среза характеризующий низкочастотный спектр фононов.

Дебаевские продольные волны, имеющиеся в образце, благодаря пьезоэлектрическому эффекту создают переменные напряжения V на металлических обкладках образца. Таким образом, на электрической стороне воспроизводится спектр частот f этих волн. В спектре всегда найдутся такие частоты, при которых на длине образца укладывается нечетное число половин длин дебаевских волн. В этом случае возникают резкие резонансные выбросы электрического напряжения. Для того чтобы эти выбросы обнаружить, нужно подсоединить обкладки образца к специальному усилителю, предназначенному для исследования тепловых шумов, и выход с этого усилителя подать на спектроанализатор.

Напомним основные предположения, которые сделал в своей теории Дебай. Они состоят в том, что упругий спектр обрезается на частотах что можно приближенно экстраполировать линейную зависимость от k на высокие частоты, и, наконец, что можно принять распределение осцилляторов по частотам в соответствии с формулой Планка. Поскольку для N атомов в решетке кристалла имеется осцилляторов (степеней свободы), спектр фононов должен быть ограничен частотой Дебая так, чтобы общее число осцилляторов было равно где

число осцилляторов в интервале . Заметим, что теория Дебая относится к случаю, когда в элементарной ячейке кристалла содержится один атом. Важной величиной является так называемая характеристическая температура Дебая которая определяется выражением , где постоянная Больцмана. может быть рассчитана по данным для упругих постоянных соответствующего кристалла. Отметим, что температура Дебая указывает на степень жесткости и звукопроводности кристалла. Чем выше тем более звукопроводен кристалл; например, для кварца а для такого кристалла, как . Отметим также, что чем больше для кристалла тем он более «линеен» (гл. 11).

В курсах по динамике решетки кристаллов [21, 22] подробно показывается, что колебания двухатомного кристалла (т. е. кристалла, в элементарной ячейке которого находятся два атома различной массы и М) состоят из двух семейств ветвей колебаний, или мод. Наиболее высокочастотные представляют собой оптические ветви (для продольных колебаний обозначим их через LO и для поперечных — через ). В оптических ветвях колеблющиеся атомы и М при испытывают смещения друг относительно друга при неизменном расстоянии между атомами с одинаковыми массами.

Рис. 10.3. Дисперсионная кривая для фононов, распространяющихся в флуориде натрия [9]. Две поперечные акустические ветви соответствуют направлению [100].

Когда же расстояния при колебаниях между одинаковыми атомами изменяются, то колебания более низкочастотны (начиная с нулевых частот); такие ветви колебаний называют акустическими (LA — продольная, ТА — поперечная акустическая ветвь). Короче говоря, акустические дебаевские колебания представляют собой смещения элементарной ячейки как целого, тогда как оптические колебания (при ) отвечают деформациям внутри ячейки, когда ее центр тяжести почти неподвижен. В качестве примера на рис. 10.3 приведена экспериментальная зависимость от k (дисперсионная кривая) [9]. Измерения [23] проводились методами рассеяния медленных нейтронов при низких температурах в флуориде натрия . На рис. 10.3 мы обратим внимание на то, что как акустические, так и оптические ветви обладают дисперсией, и что для акустических ветвей при близких к нулю А: имеется прямая пропорциональность между и k. Отметим также, что хотя частоты оптических колебаний и лежат значительно выше акустических, они все же могут пересекаться (на приведенной диаграмме при ). Для более сложных ячеек, состоящих из большого числа атомов, область пересечения и колебаний может быть более четко выраженной и при меньших k. Впрочем, и для сравнительно

простых кристаллов, например для кристалла , разрешенные зоны для акустических и оптических фононов пересекаются в весьма широком интервале частот. Этот эффект может иметь значение в теории поглощения звука, так как оптические колебания также вносят вклад в а 1241 (подробнее см. § 5).

Представление о нормальных тепловых колебаниях решетки как о газе невзаимодействующих фононов оказывается недостаточным, чтобы правильно объяснить такие коллективные кинетические явления, как теплопроводность, тепловое расширение твердых тел и поглощение звука. Для такого объяснения в физике твердого тела (об этом на макроскопическом языке шла речь в гл. 8, когда говорилось о модулях третьего порядка и об ангармоничности решетки) учитываются процессы фонон-фононного взаимодействия — фононы испытывают неупругие соударения между собой; при столкновении двух фононов может рождаться третий фонон (процесс слияния) или, наоборот, фонон может распадаться на два фонона (распадный процесс). Соответствующие диаграммы так называемых трехфононных процессов нами приводились в гл. 4. Могут происходить процессы слияния и распада большего числа фононов, чем три, например в процессе могут участвовать четыре фонона. Четырехфононный процесс соответствует при макроскопическом описании уже модулям четвертого порядка (члены четвертого порядка в разложении внутренней энергии по компонентам тензора деформации).

Рис. 10.4. Потенциальная энергия взаимодействия атомов линейной цепочки. Равновесное состояние приближенно определяется минимумом кривой.

Ангармоничность решетки атомов вызывается асимметрией потенциальной ямы взаимодействия. На рис. 10.4 показана схема зависимости потенциальной энергии взаимодействия от расстояния между двумя нейтральными атомами в решетке. Именно ангармоничность решетки диэлектрического кристалла приводит к микроскопическому описанию затухания в нем звука, к правильному объяснению процесса теплопроводности с конечным сопротивлением передачи тепла, а также к объяснению теплового расширения твердых тел.

Напомним еще, что тепловые фононы в равновесном состоянии твердого тела подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна. Например, функция распределения фононов с волновыми векторами и поляризацией имеет вид

Для дальнейшего полезно отметить порядки величин, относящиеся к тепловым и звуковым фононам. Среднее значение частоты

тепловых фононов определяется из выражения

справедливого при где — максимальная частота в спектре. Заметим, что при более высоких значениях Т основной группой фононов, участвующих в кинетических процессах, будет группа, соответствующая максимальной плотности фононных состояний в спектре фононов. Эксперимент показывает, что ниже тепловые фононы практически не вносят заметного вклада в поглощение звука, а даже при этой температуре

Следует отметить, что наивысшее значение полученных в настоящее время искусственным образом звуковых частот составляет около 100 ГГц. Методом тепловых импульсов при низких температурах удается несколько продвинуться в сторону еще более высоких частот. При этом используется нагревание импульсом света от лазера продолжительностью 10—100 нc, импульсом тока или СВЧ-излучения тонкой ( см) соединенной с кристаллом металлической пленки размером порядка что позволяет получить широкополосный звуковой импульс (некогерентные фононы). В использовании этого метода имеются, однако, существенные трудности. Они связаны как с некогерентностью излучаемого поля фононов, так и с трудностью их детектирования [8]. Таким образом, звуковые частоты Q, которые сейчас возможно получать, в общем при температурах выше 40—50 К существенно ниже, чем среднее значение частоты тепловых фононов, несмотря на большие успехи эксперимента. Иными словами, обычно

Среднее время жизни тепловых фононов (или средняя длина свободного пробега) обычно подсчитывается по формуле для теплопроводности

где с — средняя скорость фононов, С — теплоемкость решетки. Порядок величины таков, что, например, для кварца при температуре с, а при . Таким образом, условие для кварца выполняется приблизительно при 40 К на , а на — при 80 К. Это значит, что условие которое мы далее будем использовать в теории Ландау — Румера, соответствует случаю

При столкновениях фононов должны выполняться определенные условия сохранения. Если сохраняется энергия и квазиимпульс фононов:

то процессы называют нормальными или -процессами.

В теории теплопроводности показывается, что такими процессами нельзя объяснить конечное значение теплового сопротивления; тепло при одних только -процессах могло бы распространяться и

без наличия градиента температуры, и оно распространялось бы по образцу диэлектрика со скоростью звука. Пайерлс [25] объяснил эту трудность тем, что благодаря периодической структуре кристалла имеются также так называемые процессы переброса (-процессы), при которых сохраняется энергия, но закон сохранения квазиимпульса видоизменяется; он выполняется лишь с точностью до вектора обратной решетки

-процессы оказываются существенными при распространении акустических волн не слишком высоких частот в кристаллических диэлектриках при относительно высоких, например комнатных, температурах, когда Кроме N- и -процессов, в кристаллах с примесями или точечными дефектами могут быть также процессы, связанные с упругим рассеянием звука на дефектах; такие процессы, следуя [9], будем называть процессами. В процессах участвуют два фонона; для них выполняется закон сохранения энергии . Частота не изменяется, но изменяется волновой вектор и (возможно) поляризация. Таким образом, в этих процессах закон сохранения квазиимпульса не выполняется, но число фононов сохраняется процессы вместе с или -процессами могут играть определенную роль в поглощении и дисперсии звука ультразвуковых частот.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление