Главная > Физика > Введение в физическую акустику
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава 3. ОСНОВЫ НЕЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ ГАЗОВ И ЖИДКОСТЕЙ

§ 1. Плоская волна конечной амплитуды в газе и жидкости в отсутствие диссипации

В задачах линейной акустики амплитуда волны считалась настолько малой, что присутствие волны не влияло на свойства среды в той степени, чтобы их изменение сказывалось на распространении другой волны. Выполнялся принцип суперпозиции возмущений; волны не взаимодействовали между собой, распространяясь независимо.

Такое положение, однако, представляет собой идеализацию. Даже для сколь угодно малых амплитуд волн принцип суперпозиции не выполняется. Вопрос лишь в том, насколько существенно в той или иной задаче проявление всегда имеющейся нелинейности в исходных уравнениях движения и в уравнении состояния. Когда необходимо учитывать конечность амплитуды упругой волны и становятся заметными отклонения от принципа суперпозиции, возникает большое число разнообразных нелинейных эффектов. К их числу можно отнести искажение формы вначале синусоидальной волны и образование гармоник, превращение такой волны в пилообразную волну, возникновение комбинационных частот (в случае распространения нескольких волн), нелинейное поглощение, различные параметрические эффекты, рассеяние звука на звуке, трансформацию спектра интенсивных шумов, взаимодействие сигнала с шумом, акустические течения, радиационное давление, кавитацию и многие другие. Весь этот круг вопросов принято называть нелинейной акустикой.

В этой главе изложены основные принципиальные положения из всего теперь уже огромного количества нелинейных явлений, эффектов, приложений, которые исследованы и продолжают исследоваться. Теоретические основы нелинейной акустики — это часть общей теории нелинейных волн — быстро развивающейся области современной физики, изучающей общие вопросы распространения волн конечной амплитуды на поверхности жидкости, волн в плазме, мощного лазерного излучения в оптически нелинейных средах и т. д. В настоящее время имеется уже обширная литература, относящаяся к различным разделам теории нелинейных волн, в том числе и к нелинейной акустике [1—11]; по ходу изложения даются необходимые ссылки на оригинальные статьи, обзоры и монографии.

Рассмотрим распространение плоской звуковой волны в газе или жидкости без учета диссипации. Исходными уравнениями служат: уравнение движения идеальной жидкости, которое для одномерного движения (вдоль оси ) запишется в виде

уравнение неразрывности —

и уравнение состояния —

где — скорость звука, являющаяся функцией плотности.

В гл. 2 считалось, что акустические скорости v малы и членом как членом второго порядка малости, можно пренебречь. Тогда из уравнений (1.1) и (1.2) легко получалось обычное волновое уравнение, описывающее процесс распространения плоской волны.

Не будем теперь пренебрегать нелинейным членом и попытаемся решить систему уравнений (1.1)-(1.3). Впервые такое решение было найдено Риманом в 1860 г. [12] — решение Римана.

Пользуясь (1.3), исключим давление из уравнения (1.1). Получим

Следуя Риману, введем функцию

Очевидно, что

Уравнения (1.2) и (1.4) могут быть теперь записаны так:

Произведя сложение и вычитание этих уравнений, получим

При уравнения (1.8) сводятся к уравнениям

Каждое из этих двух уравнений описывает распространение возмущения (волну); одно из них распространяется в положительном направлении оси другое — в направлении ). Заметим, однако,

что если в случае волнового уравнения для линейной задачи общее решение состояло из суммы двух волн, движущихся в противоположных направлениях, то в рассматриваемом случае суммировать возмущения нельзя, поскольку возможно нелинейное взаимодействие волн, распространяющихся навстречу друг другу.

В формуле локальная или местная скорость звука, являющаяся функцией . Таким образом, в какой-либо точке профиля волны в области сжатия к скорости звука с прибавляется еще определенное значение колебательной скорости звука; в области разрежения будет вычитаться определенное значение

Учтем теперь нелинейность уравнения состояния. Согласно (1.1) имеем

Здесь везде индекс означает равновесное состояние; s — энтропия; рассматриваются адиабатические процессы, Таким образом,

Подставляя это значение с в выражение для функции Римана (1.5), получим

откуда

С учетом выражения (1.12) локальная скорость , фигурирующая в уравнении (1.9) и учитывающая вклад как нелинейности уравнения движения, так и нелинейности уравнения состояния, примет вид

где Уравнение (1.9) примет вид

(рассматриваем только волну, идущую вправо). Нелинейность уравнения движения изменяет скорость распространения возмущения на величину v (см. 1.9)), а нелинейность уравнения состояния — на величину . Конечно, это условное разделение, поскольку уравнения решаются совместно. Отметим, что для воздуха тогда как для воды .

Для волны, бегущей в положительном направлении х относительно неподвижной системы координат, возмущение движется со скоростью

Это — скорость распространения возмущения среды в неподвижной системе координат. Отметим, что если для линейной гармонической волны то в рассматриваемом случае, согласно (1.15),

Как видно, скорость перемещения точек профиля волны различна. Точки профиля, для которых движутся со скоростями (области сжатия). При имеем (области разрежения). Поэтому начальный профиль волны будет искажаться. Удобно следить за этим искажением, двигаясь вместе с волной со скоростью (сопровождающая система координат). В этой системе координат те точки профиля, для которых («нули» волны), будут неподвижны; другие точки будут двигаться с относительной скоростью На рис. 3.1 показана последовательная деформация профиля первоначально (при ) синусоидальной волны. Волна J постепенно будет менять форму профиля, искажаться, и профиль приобретет пилообразную форму. Естественно, что такой процесс искажения будет происходить лишь до момента времени образования крутого пилообразного профиля, называемого временем образования разрыва (слабая периодическая ударная волна), поскольку «захлестывание» волны произойти не может; в противном случае в один и тот же момент времени каждый трех гидродинамических параметров или имел бы разные значения, что не имеет смысла. По достижении пилообразной формы волна далее будет быстро затухать вследствие сильной диссипации, происходящей в тонком слое в окрестности фронта такой волны.

Рис. 3.1. Изменение профиля плоской волны конечной амплитуды по мере ее распространения: а) б) — время образования разрыва.

Обращаясь к рис. 3.1, можно видеть, что заштрихованные площади при равны друг другу (что доказывается точно); этим пользуются для определения профиля волны после того, как она начинает «захлестываться». Волна, описываемая уравнением (1.14), носит название простой волны. Обычно простой волной называют одномерную бегущую в одном направлении нелинейную волну (в этом смысле простая волна есть обобщение бегущей линейной волны на нелинейный случай), в которой каждая из переменных поля (в акустическом случае это или может быть выражена через одну из других переменных, например Понятие простой волны является общим и для нелинейных волн другой физической природы. Это понятие, как, впрочем, и

многие другие понятия теории нелинейных волн, обладает свойствами универсальности (как это имеет место и в теории нелинейных колебаний для сосредоточенных систем различной природы).

На основании проведенного расчета можно, зная форму волны в момент времени t, построить форму волны для времени Такой процесс можно проводить только до момента образования ударного фронта. Удобно характеризовать «остановленную» волну углом между осью абсцисс и нашей кривой V, или коэффициентом в. Будем рассматривать синусоидальную волну и проводить операции с одним полупериодом синусоиды, расположенным над осью абсцисс. Тогда начальный наклон кривой

Рис. 3.2. Точка а на профиле скорости «остановленной» волны, двигаясь со скоростью совпадает с точкой b через время (время образования разрыва).

Через время волна с начальным наклоном приобретает вертикальный передний фронт (рис. 3.2). Отсюда

    (1-17)

Следовательно, примененное построение формы волны можно проводить только для времени

Выразим время образования пилообразной волны через амплитуду давления . Из (1.16) и (1.17), учитывая, что для плоской волны , получим

Расстояние, на котором образуется разрыв,

Здесь — число длин волн, на протяжении которых образуется разрывный передний фронт; очевидно, N зависит от параметров среды и от величины начального возмущения, — акустическое число Маха.

Теперь можно записать крутизну переднего фронта в зависимости от пройденного волной расстояния:

Отсюда видно, что если расстояние измеряется в единицах X, то искажение будет одинаковым и не будет зависеть от амплитуды давления, частоты и природы газа или жидкости.

Запишем уравнение римановской простой волны (1.14) в сопровождающей системе координат. Для этого следует перейти от I и к новым переменным.

В этих переменных

(аналогичные соотношения имеют место для величин ). Пользуясь этими выражениями, уравнение (1.14) запишем в виде

Считая, что и что (изменение профиля волны на длине волны мало), можно пренебречь членом и получить

Эта запись уравнения простой волны в сопровождающей системе координат часто применяется в нелинейной акустике. Уравнение (1.24), в отличие от уравнения римановской волны (1.14), уже не является точным (в рамках предположений, положенных в основу вывода (1.13)), поскольку при его выводе использовалось лишь второе приближение. Впрочем, ценность точного решения Римана ограничена тем, что оно относится к идеализированному случаю отсутствия диссипации.

Отметим также, что в линейном случае, когда и, следовательно, профиль волны не изменяется, линейная волна в рамках сделанных предположений (отсутствие затухания, волна плоская) стационарна. В нелинейном случае профиль волны меняется волна нестационарна. Эволюция профиля простой волны в зависимости от проходимого ею расстояния (или времени распространения) может быть проанализирована и другими методами, из которых существенную роль играют методы геометрических построений, в том числе метод характеристик. Характеристиками называют траектории движения возмущений скорости v в плоскости Для линейных волн характеристикой служит уравнение и все характеристики являются параллельными линиями, поскольку профиль при распространении не меняет своей формы и волны стационарны. Для простых волн семейство характеристик в координатах определяется формулой

Искажение формы волны можно описывать и в спектральном представлении; очевидно, искажение эквивалентно образованию гармоник. При распространении синусоидальной волны с частотой со,

из-за нелинейных процессов в среде образуются волны с частотой и т. д., т. е. с расстоянием х спектр волны меняется.

Рассмотрим образование гармоник в основной волне, имеющей при синусоидальную форму. Ограничимся для простоты второй гармоникой. Имеем, разлагая в ряд выражение для v по (1.16),

    (1.25)

членами порядка выше в аргументе синуса пренебрегаем. Обозначим Разлагая (1.25) в ряд и считая, что получим с учетом формулы для синуса суммы двух углов

откуда

Разлагая далее знаменатель в ряд и ограничиваясь двумя членами разложения, имеем

Таким образом, наряду с основным колебанием появилась вторая гармоника с амплитудой

Относительная величина второй гармоники, являющаяся мерой нелинейного искажения, для звукового давления определится формулой (с учетом соотношения для плоской волны)

где — амплитуда давления основной волны (первая гармоника) и — то же для второй гармоники.

Согласно этому выражению растет пропорционально пробегу волны частоте со, нелинейному параметру среды и интенсивности звука. В действительности явление происходит сложней, чем это описывается формулой (1.28). Во-первых, амплитуда основной волны будет уменьшаться с ростом второй и более высоких гармоник, что здесь не учитывалось. Во-вторых, сама вторая гармоника должна отдавать часть энергии на образование собственных высших гармоник. Все это связано с той идеализацией, которая с самого начала была положена в основу проведенного рассмотрения. Кроме того, пренебрегалось процессами диссипации.

Вернемся теперь снова к уравнению (1.12). При из него можно получить соотношения между параметрами в волне конечной амплитуды. Ограничиваясь величинами второго порядка малости по приведем ряд соотношений, которые понадобятся нам в дальнейшем. Запишем их для простой волны, распространяющейся в положительном направлении оси х.

При этом величины первого порядка малости будем отмечать одним штрихом, второго — двумя штрихами. Эти соотношения оказываются такими (см., например, [2, 17]):

или

Таким образом, в отличие от плоской волны бесконечно малой амплитуды, во втором приближении линейные соотношения между давлением и плотностью становятся неверными. Из приведенных формул следует, что при условии постоянства массы в звуковом поле во втором приближении имеются постоянные составляющие скорости и давления

Величина при условии сохранения количества жидкости в звуковом поле представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергий в простой волне — среднюю по пространству плотность звуковой энергии простой волны (подробнее см. [2]).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление