Главная > Физика > Введение в статистическую радиофизику. Часть 1. Случайные процессы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задачи

1. Показать, что уравнение Смолуховского следует из определения (15.3) марковского процесса и согласованности конечномерных распределений.

Решение. Согласно (15.3) при

По условию согласованности

Подставив сюда получаем уравнение (21.1).

2. Пусть - дискретная последовательность независимых случайных величин с возможными значениями и

соответствующими вероятностями . Вероятности перехода (совпадающие с вероятностями состояний) не зависят от номера испытания т. е. последовательность однородна:

Показать, что последовательность величин

(по определению является марковской, и найти для нее матрицу вероятностей перехода за один шаг.

Решение. Последовательность марковская, поскольку и, следовательно, если задано значение , то распределение известно. Обозначив через возможные значения запишем вероятность перехода за один шаг:

Таким образом, матрица имеет вид

3. Независимые случайные величины принимают значения +1 или —1 с вероятностями Является ли последовательность величин марковской?

Решение. Величина может принимать значения с вероятностями равными соответственно (одномерное распределение ). Для двух величин совместная вероятность (двумерное распределение) будет различна в зависимости от разности Если то независимы, так что . Если , то в входит одна и та же величина и матрица . будет

Очевидно, такая же матрица получится и при , когда входит и в . Наконец, если то

Для условной вероятности

получаем в трех указанных случаях следующие матрицы:

Если образуют марковскую последовательность, то должны быть вероятностями перехода, т. е. удовлетворять уравнению Смолуховского:

Однако нетрудно убедиться, что это не имеет места. Достаточно взять случай так что и левая часть уравнения должна быть матрицей (1). Между тем сумма, стоящая в правой части уравнения и представляющая собой квадрат матрицы (2), есть матрица

4. Написать матрицу вероятностей перехода за один шаг для рассмотренного в § 22 примера случайных блужданий (рис. 11), но в случае поглощающих стенок.

Решение. Очевидно, при вероятности перехода остаются теми же, что и в случае отражающих стенок. Для частицы же, попавшей на стенку или движение останавливается, т. е.

Таким образом,

5. Доказать, что у нормального стационарного марковского процесса коэффициент корреляции равен

где (теорема Дуба, см. [26], § 8, а также [27]).

Решение. Согласно (7.13) условная вероятность у нормального процесса с равна

где — коэффициент корреляции (процесс по условию стационарен и ). Поскольку процесс марковский, v должна удовлетворять уравнению Смолуховского:

Подставив сюда выражение вида (1) для и для и выполнив интегрирование по получаем

что должно быть равно (1). Следовательно, или

Для положительных аргументов решение этого функционального уравнения есть

где а — любое комплексное число. Так как К должно удовлетворять условиям необходимо, чтобы а было вещественно и положительно. Отсюда же следует, что при продолжении функции в область должно выполняться условие ее четности.

6. Найти связь вероятности перехода из точки О в точку за N шагов с биномиальной вероятностью того, что из общего числа N независимых шагов сделано вправо п.

Решение. - это вероятность перемещения вправо на шагов (из любой начальной точки). Если нас интересует смещение вправо на шагов, т. е. то вправо должно быть сделано шагов, что возможно, конечно, только при одинаковой четности . Таким образом,

Нетрудно проверить подстановкой, что это выражение удовлетворяет как уравнению Маркова

так и условию нормировки (сумма по значениям той же четности, что и ).

7. Найти вероятности перехода для однородного по t марковского процесса с дискретными состояниями, если (постоянные)

коэффициенты имеют значения

а начальные условия (Колмогоров [3]).

Ответ.

8. Найти стационарные вероятности состояния для однородного по t марковского процесса со следующими (постоянными) значениями коэффициентов ):

(Колмогоров [3]).

Решение. Уравнения (23.14) имеют в данном случае вид

для всех . Следовательно, а из условия следует, что Окончательно

9. Задача ставится так же, как и предыдущая, но со следующими значениями коэффициентов

при остальных k (Колмогоров [3]).

Ответ.

10. Флуктуации почернения фотоэмульсии [28]. Пусть область эмульсии, соответствующая наименьшему разрешимому точечному объекту (коротко — ячейка), содержит в момент начала экспонирования «непроявленных» зерен. Каждое из них может находиться только в двух состояниях — непроявленном и проявленном. Если к моменту t остались непроявленными m зерен то предполагается, что вероятность проявления какого-либо одного из них в интервале равна а вероятности проявления двух или более зерен имеют более высокий порядок относительно

Составить и решить систему уравнений Колмогорова для вероятности перехода непроявленных зерен в момент к таким зернам в момент t. Найти

Решение. При непроявленных зернах в момент t возможен за последующий интервал либо переход к непроявленным зернам с вероятностью либо сохранение числа непроявленных зерен с вероятностью Причем

Следовательно, при уравнение для будет

а при поскольку

Отрешение этих уравнений при начальном условии дается биномиальным законом:

где

Очевидно, -вероятность того, что за время t зерно останется непроявленным. Таким образом, среднее значение и дисперсия таковы:

Процесс нестационарен, и зависит от

где — среднее число проявленных зерен.

С ростом N биномиальное распределение переходит (при фиксированном ) в пуассоновское. Поэтому в задаче 7, где сразу предполагалось, что получился закон Пуассона, причем стационарный, так как там приняты постоянными.

Согласно [28], хорошей аппроксимацией для может служить линейная функция времени экспозиции Тогда и

По такому же закону нарастает с и почернение, пропорциональное п. Следовательно, О — такая длительность экспозиции, при которой скорость роста почернения максимальна. Разумеется, зависит от освещенности эмульсии. В отличие от почернения, растущего с t монотонно, фотографический «шум» (т. е. ) максимален при достигая здесь значения . При «Шум» тем сильнее, чем больше зерен в ячейке, так как

11. Вывести методом Релея (§ 24) уравнение Эйнштейна — Фоккера для вероятности перехода в случае, когда частица может совершать за время шаги с вероятностями соответственно так называемые -шаговые блуждания), где, конечно,

Решение. Полагая , получаем для вероятности перехода уравнение Маркова:

или

Разложение правой части в ряд по степеням а дает

Если предположить, что при порядок а и есть то в пределе отличны от нуля будут только члены с т. е. получится диффузионное уравнение

где

Пусть, например,

Тогда из условия нормировки получаем

Далее,

Аналогично получаем

В результате

где

При отличны от нуля только и мы возвращаемся к случаю одношаговых блужданий, рассмотренному в § 24, причем . При вероятности многошаговых скачков возрастают и поэтому ускоряется как систематическое движение, так и диффузия:

12. Рассчитать по формуле (25.9) распределение модуля вектора , компоненты которого независимы и распределены равномерно в интервале , т. е.

Ответ.

13. Коэффициент В определен в (26.2) через , т. е. через среднее квадратичное отклонение случайной конечной точки х в момент t от фиксированной исходной точки у в момент . Переход из у в х обусловлен как хаотическим движением (диффузией), так и систематическим сносом со скоростью

где х — среднее значение х в момент t. Казалось бы естественным ввести в качестве меры чисто случайного (диффузионного) смещения не величину В, а

Показать, что и истолковать этот результат.

Решение. С точностью до первого порядка относительно имеем

поэтому

Причина, очевидно, в том, что полное отклонение х — у и чисто случайное оба растущие по диффузионному закону (стандарты обоих порядка ), отличаются друг от друга в более высоком (первом) порядке по :

14. Уравнение Колмогорова (23.8) для случайного процесса с дискретными состояниями было получено из уравнения Смолуховского в предположении, что существуют вероятности перехода за единицу времени причем При этом предположении уравнение (23.8) мржно вывести и из уравнения Маркова. Показать это для одношаговых случайных блужданий, у которых возможны смещения на один шаг вправо и влево (с вероятностями и q), а также «шаг на месте» с вероятностью .

Решение. Уравнение Маркова для вероятности перехода , будет

Полагая , перепишем это уравнение в виде

Если

причем

то в пределе при получаем уравнение Колмогорова:

В частности, если блуждания симметричны , то, выбирая такой масштаб для t, чтобы временные плотности вероятности были равны единице, получаем

Под можно, конечно, понимать как вероятность перехода так и вероятность состояния Следует обратить внимание на то, что для существования введение «шага на месте» необходимо.

15. В § 24 уравнение Эйнштейна — Фоккера для процесса с непрерывными возможными состояниями было выведено из уравнения Маркова для дискретной последовательности. В предыдущей задаче показано, что предельных переход позволяет при определенных условиях получить из уравнения Маркова уравнение Колмогорова для процесса с дискретными состояниями. Естественно ожидать, что последующее «сближение» этих состояний (например, неограниченное укорочение длины шага а при случайных блужданиях) позволит вывести уравнение Эйнштейна — Фоккера из уравнения Колмогорова. Показать это на примере симметричных одношаговых блужданий, т. е. для уравнения Колмогорова

Решение. Полагая и вводя плотность вероятности , приводим уравнение Колмогорова к виду

Разложение по степеням а дает

Если вместо t ввести и разложить по степеням

то получим систему уравнений последовательных приближений:

Нулевое приближение, т. е. уравнение для представляет собой уравнение Эйнштейна — Фоккера.

Учет «поправок на дискретность» представляет интерес во многих задачах, в которых описание дискретной случайной структуры или

процесса заменяется «сглаженным» описанием при помощи дифференциальных уравнений в чабтных производных для непрерывных переменных. Иногда важно выяснить, как сказывается на таких уравнениях миогошаговость исходной дискретной задачи и к каким граничным условиям для непрерывных переменных приводят (в разных порядках по ) различные способы ограничения области изменения дискретных переменных. Эти вопросы подробно исследованы в работе [29] на моделях одношаговых и двухшаговых случайных блужданий.

16. Пользуясь характеристической функцией условного распределения показать, что из интегрального соотношения (26.16) следует уравнение вида (26.17) для условной вероятности , коэффициенты которого определены по (26.18) [12].

Решение. Запишем характеристическую функцию в виде

где

Обратное преобразование Фурье дает

Подставив это выражение для v в интеграл в (26.16), получаем

Член суммы с равен просто Перенесем его в левую часть, разделим все уравнение на и перейдем к пределу при Учитывая, что, согласно (26.18),

получаем

Очевидно, весь проделанный вывод остается в силе и тогда, когда а условия сводятся к предшествующему состоянию самого процесса , т. е. в случае марковского процесса. Мы получаем тогда уравнение (26.4) для вероятности перехода , поскольку отличны от нуля только

17. Показать, что плотность вероятности выражающаяся формулой (31.5), удовлетворяет уравнению Смолуховского

Решение. Разлагая по формуле бинома, нетрудно убедиться, что для закона Пуассона справедливо соотношение

Далее, из выражения (31.2) для вытекает формула

справедливая и в том случае, когда m и (или) k — нули.

Записав в виде (31.4):

получаем

Интегрируя это выражение по у и учитывая (2), находим

В силу (1) это равно .

18. Найти вероятность перехода, одномерную плотность вероятности и функцию корреляции в том частном случае пуассоновского процесса (31.5), когда апостериорная (после скачка) плотность вероятности не зависит от т. е. равна Если — скорость частицы в газе, то данный случай отвечает легкой частице (например, электрону), соударяющейся с тяжелыми частицами. Легкая частица практически «забывает» свою скорость до удара при каждом соударении.

Решение. Согласно (31.2) имеем и поэтому вероятность перехода (31.5) равна

с вероятностью того, что в (0, t) не было соударений, или же х имеет распределение с вероятностью того, что в было хотя бы одно соударение. Такая эволюция распределения (1) описывает, например, поведение скоростей в пучке легких частиц, проходящем через газ тяжелых частиц. Слагаемое с ) описывает частицы, не испытавшие соударений до момента t и поэтому все еще принадлежащие пучку, а второе слагаемое — частицы, рассеянные газом.

При устанавливается стационарное распределение и, следовательно, двумерное распределение будет

Вычисляя при помощи функцию корреляции, получаем

где Функция корреляции такая же, как у нормального марковского процесса (см. задачу 5), хотя распределение - даже при гауссовом распределении — не является нормальным.

19. Найти среднее время достижения границ при наличии постоянной систематической скорости А, направленной к верхней границе для случаев, когда имеется нижняя граница и когда она отсутствует. Коэффициент диффузии постоянен.

Решение. Уравнение (32.10) при постоянных А и В

имеет общее решение

При наличии обеих границ, находя из условий получаем

При (а значит, и ) мы возвращаемся к формуле (31.15).

Если отодвинуть нижнюю границу в бесконечность , то получим

т. е. среднее время достижения верхней границы b равно в этом случае просто времени перемещения до нее с систематической скоростью А. Это следует и из общего решения (1), если наложить только одно условию потребовать неотрицательности ). Это последнее требование сводится, как нетрудно видеть, к условию наиболее медленного роста при (т. е. при удалении начальной точки х от границы b), что достигается при отсутствии в (1) экспоненциального члена

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление