Главная > Физика > Введение в статистическую радиофизику. Часть 1. Случайные процессы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 15. Марковские процессы

Выберем последовательных моментов времени По определению условной вероятности мы всегда можем написать

Множитель в правой части есть условная вероятность того, что в момент значение случайной функции окажется в интервале при условии, что в предшествующие моменты она принимала значения, равные Таким образом, условная вероятность состояния в момент зависит от предшествующего пути, пройденного случайной функцией, от множества предшествующих

состояний, из которых, в зависимости от числа измерений , выбраны состояний

Рис. 8.

Если обозначить через значение фактически принятое в момент , то для всякого распределение, вообще говоря, будет зависеть от всего предшествующего течения процесса Эту ситуацию иллюстрирует рис. 8, на котором v построена в функции от х и t. Над кривой лежащей на плоскости -кривой фактически принятых до момента значений — возвышается бесконечно высокий «забор» дельта-функций. Ход для любого зависит от всей формы этого «забора», т. е. будучи функцией от х и t, является функционалом от . Если при том же значении в момент взять иной вид т. е. иначе изогнуть «забор», то форма поверхности над участком плоскости изменится. Говорят, что испытывает вероятностное последействие со стороны ранее принятых значений.

Разные участки кривой могут влиять на последующее распределение вероятности в различной степени. В частности, процесс может обладать затухающим последействием: значения оказывают тем меньшее влияние, чем более давними они являются. Это «забывание» может быть не только постепенным, но и резко наступающим. Например, может отсутствовать влияние всех при т. е. последействие оказывают только значения, принятые на отрезке времени до момента Еще более частный, но физически важный случай — тот, когда для всех условная вероятность однозначно определяется значением принятым в момент и совсем не зависит от предшествующей истории, т. е. имеет вид Это и есть процесс марковского типа, или процесс без последействия.

Заметим, что такой процесс можно рассматривать как непосредственное обобщение динамической закономерности, описываемой дифференциальным уравнением движения первого порядка. Решение этого уравнения, удовлетворяющее условию при есть

Детерминированная функция f однозначно определяет значение х в момент t при заданном значении в момент . Можно сказать поэтому, что плотность условной вероятности значения х в момент t выражается в этом частном случае дельта-функцией:

Примером такого динамического процесса может служить движение частицы в вязкой жидкости, реакция которой учитывается в виде стоксова трения, т. е. силой где и — скорость частицы. Мы имеем тогда для и (это и есть величина х в данном примере) уравнение движения из которого следует

Известно, однако, что выражение для силы трения представляет собой лишь первое приближение, пригодное только для малых ускорений. В общем случае те возмущения (вязкие волны), которые создаются в жидкости движением частицы, влияют на испытываемую ею реакцию в течение длительного времени. В результате реакция в какой-либо момент t зависит не просто от скорости и частицы в этот же момент, а от всего ее предшествующего движения (вязкое последействие). Следовательно, при более точной постановке задачи уравнение движения частицы в вязкой жидкости будет уже интегро-дифференциальным и состояние и в момент t не будет определяться однозначно состоянием в момент (§ 35).

Нетрудно представить себе соответствующий переход к статистическому явлению, например брауновскому блужданию частицы в жидкости. При реакции стоксова типа это марковский процесс, а с учетом вязкого последействия появится вероятностное последействие: распределение вероятности и в момент t будет зависеть от всего предшествующего движения частицы.

Вернемся к общей формуле (15.1). Для процессамарковского типа плотность условной вероятности состояния относительно цепочки предыдущих состояний совпадает, согласно сказанному, с плотностью условной вероятности относительно последнего из предыдущих состояний и не зависит от более ранней истории. Другими словами, статистические свойства процесса в момент определены состоянием в момент и никак не зависят от любой информации о течении процесса до момента

для любых Связь между имеет, следовательно, вид

Применяя эту формулу последовательно к вплоть до :

получаем

Таким образом, для того чтобы написать -мерную плотность вероятности марковского процесса, надо знать только две функции — одномерную плотность вероятности и плотность условной вероятности v (индекс 2 при v мы далее опустим).

Соотношение (15.3), конечно, тоже может быть положено в основу определения марковского процесса. Если оно имеет место, то принято называть v вероятностью перехода (из предыдущего состояния в последующее), что оправдано именно отсутствием последействия.

Выражение (15.2) для двумерного распределения может быть написано для любого процесса — просто по определению условной вероятности. Но уже для существование вероятностей перехода означает сильное ограничение вида возможных функций распределения.

Итак, случайная функция марковского типа полностью определяется заданием одномерной функции распределения и вероятности перехода между любыми двумя тогда как

в общем случае необходимо задание всех конечномерных распределений.

Случайная функция марковского типа называется однородной по t, если вероятность перехода зависит только от Тогда

Одномерное распределение, вообще говоря, зависит от так что двумерное зависит от в отдельности. Возможны, однако, случаи, когда существует стационарное одномерное распределение одинаковое для всех t. Тогда

т. e. двумерное распределение зависит теперь только от При этом, поскольку распределение w должно иметь место при любом t, необходимо

т. e. распределение должно удовлетворять условию

В этом случае однородная случайная функция марковского типа является стационарной, в соответствии с определением стационарности, которое мы приведем далее.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление