Главная > Физика > Введение в теорию квантованных полей
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

10.5. Перестановочные соотношения в дискретном импульсном представлении.

Приведем еще запись перестановочных соотношений в упоминавшемся выше (§ 3) дискретном импульсном представлении. Используя дискретное разложение типа (3.28) для функций поля

и дискретное представление типа (3.31) 4-вектора энергии-импульса

где

выкладкой, аналогичной вышеприведенной, приходим к следующим дискретным перестановочным соотношениям: в случае спинорного поля

в случае всех остальных полей

Здесь — произведение символов Кронекера;

а дискретные операторы а связаны с непрерывными в пределе больших L соотношениями типа (3.30):

В теории вторичного квантования квадратичные комбинации дискретных операторов рождения и уничтожения типа

играют роль операторов числа частиц. В самом деле, рассмотрим случай квантования по Бозе—Эйнштейну. Получим тогда из (26)

Обозначая оператор через n:

покажем, что собственные значения N оператора

целочисленны. Рассмотрим для этого выражение

Выполняя последовательные коммутации операторов с учетом следующего из (27) и (28) соотношения

получаем последовательно:

откуда следует

Ввиду того, что оператор

представляет собой произведение некоторого оператора на сопряженный ему, матричный элемент (30) не может быть отрицательным С другой стороны, при нецелом N найдется такое

при котором (31) станет меньшим нуля, что невозможно. Следовательно, N — целое число.

Как видно, в дискретном представлении 4-импульс и заряд выражаются суммами тнпа

где — 4-импульс или заряд одной частицы в состоянии v. Естественно поэтому считать оператором, представляющим число частиц в данном состоянии. Обратимси к квантованию Ферми—Дирака:

Обозначая

исследуем собственные значения N оператора . Рассмотрим для этого выражение

Коммутируя операторы с учетом соотношений

получаем:

т. е.

откуда

и, следовательно,

Используя выражения операторов энергии-импульса и заряда, далее без труда находим, что числа соответствующие операторам

действительно равны числу частиц с соответствующими импульсами и зарядами, и операторы поэтому явлиются операторами числа частиц.

Мы видим, таким образом, что квантование по Бозе—Эйнштейну и Ферми—Дираку приводит к совершенно различным физическим картинам. При квантовании по (27) числа заполнения N могут принимать любые сколь угодно большие целые значения. В случае статистики Бозе—Эйнштейна в одном и том же состоянии

(характеризуемом 4-импульсом, зарядом и спином) может находиться любое сколь угодно большое число частиц. Наоборот, при квантовании по (32) числа заполнения в согласии с (33) принимают лишь два значения: 0 и 1. Соотношение (33) является выражением принципа Паули: в системе частиц, подчиняющихся статистике Ферми—Дирака, в одном и том же состоянии может находиться не более одной частицы.

Мы вкратце рассмотрели здесь обычное дискретное представление функций поля, применявшееся главным образом в раиних работах по квантовой теории поля. Его достоинством является простота и наглядность введении чисел заполнения и возможность представления амплитуды состояния как функции этих чисел.

Одиако ввиду его нековариантности мы не станем его использовать в нашем изложении и будем иметь дело с непрерывным представлением.

Нетрудно заметить, что в этом случае операторные выражения

играют роль плотности числа частиц в трехмерном импульсном пространстве.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление