Главная > Физика > Введение в теорию квантованных полей
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7.3. Лагранжев формализм и инварианты.

Обратимся теперь к лагранжеву формализму. Уравнения Дирака (6.20) и (6.21) могут быть получены с помощью вариационного принципа из следующего лагранжиана:

Лагранжиан спинорного поля (27) обращается в нуль, если входящие в него функции удовлетворяют уравнениям поля. Обычным путем получаем из (27) тензор энергии-импульса

и 4-вектор тока

Для вычисления тензора спина заметим, что после выполнения суммирования по спинорным индексам формула (2.15) для спинорного поля может быть записана в виде

Входящие сюда коэффициенты с помощью формул (6.27), (6.28) и правил перехода к сопряженному спинору определяются

в виде

где — так называемый «матричный тензор спина», введенный в (6.7):

С помощью выписанных формул приходим из лагранжиана (27) к следующему выражению для тензора спинового момента спинорного поля:

    (31)

Для выполнения интеграции по трехмерному пространству и получения динамических переменных, как обычно, удобно перейти к трехмерному импульсному представлению:

Подставляя (32) и (33) в (28), полагая индекс и интегрируя по трехмерному пространству с учетом условия ортонормированности (16), получаем 4-вектор энергии-импульса

где, как и всюду, .

Принимая во внимание, что согласно (32) и (33) законы эрмитова сопряжения амплитуд имеют вид

убеждаемся, что в классической теории энергия спинорного поля

не является положительно определенной. Положительная определен ность энергии спинорного поля достигается лишь в квантовой теории квантованием по Ферми—Дираку.

Переходя к вычислению вектора спина, отметим, что в соответствии с (6.19) компоненты тензора спина могут быть выражены

через матрицы следующим образом:

Поэтому, полагая в убеждаемся, что пространственная плотность вектора спина выражается матричным «вектором»

В противоположность спинам векторного и электромагнитного полей вектор спина спинорного поля (38) не сохраняется во времени (что связано с отсутствием симметрии у тензора энергии-импульса) Однако в том случае, когда функции поля не зависят от некоторых координат можно добиться выполнения «уравнения непрерывности» для отдельных компонент тензора S, а следовательно, сохранения во времени соответствующих интегралов. Так, полагая получим:

откуда следует, что проекция вектора спина на ось

сохраняется во времени. В импульсном представлении это положение соответствует «сохранению проекции вектора спина на направление движения».

Переходя в (38) к трехмерному импульсному представлению и выполняя интегрирование по трехмерному конфигурационному пространству, получаем:

Ограничиваясь рассмотрением компоненты воспользуемся соотношением (19), которое представим в форме

В силу этого соотношения в системе отсчета, где зависящие от времени члены в исчезают, и мы приходим

к выражению

для дальнейшей конкретизации которого удобно перейти к какому-либо конкретному представлению матриц Дирака. В используемом нами представлении (6.18) матрица имеет вид

Выбирая при этом нормированные спиноры в системе в виде

где N — нормировочный множитель, равный

находим, что (40) принимает форму

Сравнивая выражения для энергии-импульса (34), проекции вектора спина (42) и непосредственно вытекающего из (29) выражения для заряда

находим, что спинорное поле соответствует заряженным частицам с возможными значениями проекции спина на заданную ось, равными . Более детальная классификация возможных значений энергии-импульса, заряда и проекции спина будет проведена после

квантования (§ 13), где она получит полное и однозначное обоснование.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление