Главная > Физика > Введение в теорию квантованных полей
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6. Спинорное поле. Матрицы Дирака и законы преобразования спинорных функций

6.1. Факторизация оператора Клейна — Гордоиа.

Перейдем к рассмотрению простейшего спинорного поля, которое, как будет показано ниже, описывает заряженные частицы со спином каковыми, например, являются электроны и позитроны. Соответствующие уравнения, следуя Дираку, получим путем «факторизации» оператора Клейна — Гордона:

где для удобства записи использованы обычные квантовомеханические обозначения

Оператор (1) является квадратичным относительно производных и, как легко убедиться, не может быть представлен в виде произведения двух линейных по сомножителей с численными коэффициентами. В самом деле, если по аналогии с формулой разбиения на множители разности двух квадратов попытаться представить (1) в виде

где Р — некоторая линейная комбинация операторов с коэффициентами

то для этого необходимо потребовать, чтобы выполнялось соотношение

раскрывая правую часть которого, найдем условие, определяющее коэффициенты у:

Ввиду того, что согласно этому условию величины у с различными индексами антикоммутируют, они не являются числами и могут быть выбраны в виде матриц.

С помощью этих величин оператор Клейна — Гордона может быть представлен в виде произведения двух коммутирующих матричных операторов:

и для того чтобы функция поля подчинялась уравнению Клейна — Гордона

мы можем потребовать, чтобы она удовлетворяла также одному из уравнений первого порядка:

Уравнения (5), разумеется, являются менее общими, чем (4), и хотя всякое решение одного из уравнений (5) удовлетворяет уравнению (4), обратное соотношение не имеет места.

Важно отметить, что уравнения (5) фактически являются совершенно новыми уравнениями, так как удовлетворяющие им функции реализуют спинорное представление группы Лоренца.

Можно ожидать поэтому, что уравнения (5) содержат более детальную информацию, чем (4). Как известно, это положение действительно имеет место, поскольку именно с помощью уравнений (5) Дираку впервые удалось описать спин электрона, равный Уравнения (5) называются уравнениями Дирака, а матрицы у, определяемые соотношениями (2), — матрицами Дирака.

Общим свойством всех рассмотренных нами ранее решений уравнения Клейна — Гордона, соответствующих однозначным представлениям группы Лоренца, является то, что соответствующие им частицы обладают целым спином (в рассмотренных случаях О и 1). Для описания частиц с полуцелым спином приходится прибегать к спинорным представлениям, простейшее из которых соответствует уравнениям (5) и (2).

Ввиду матричного характера операторов (5) волновая функция которая им удовлетворяет, является многокомпонентной, причем число ее компонент определяется рангом матриц у.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление