Главная > Физика > Введение в теорию квантованных полей
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

46.2. Вычисление G(х, у).

Для этого воспользуемся формулой (44.20) с учетом того, что определяется уже не формулой (44.21), а на основании (1) равна единице. Это дает:

Таким образом, для определения G необходимо вычислить функциональный интеграл следующего вида:

где

Интеграл (18) принадлежит к типу гауссовых (относительно и вычисляется с помощью формулы (45.15):

где

Отсюда имеем:

Вычисляя интегралы в (19) находим:

Дальнейшие вычисления будем вести в произвольной калибровке, когда определяется выражением (34.5).

Тогда, очевидно, с учетом того, что :

Этот интеграл логарифмически расходится в ультрафиолетовой области. Он, однако, что очень важно, не содержит каких-либо расходимостей при малых k. Таким образом, в полном решении (20) отсутствует инфракрасная катастрофа.

Для вычисления интеграла (21) в явном виде удобно воспользоваться вспомогательной регуляризацией Паули — Вилларса. Опуская детали вычислений, приведем окончательный результат:

где М — масса Паули — Вилларса. Из сравнения с (20) видно, что второй член в правой части есть член перенормировки массы

Поэтому (22) удобно переписать в виде

Здесь первый член есть член перенормировки массы, второй — член перенормировки волновой функции (т. е. мультипликативной перенормировки функции Грина):

Оба эти члена могут быть исключены соответствующей вычитательной процедурой, сводящейся, согласно общей теории устранения расходимостей, к переопределению хронологических произведений. Поэтому мы в дальнейшем вместо G будем рассматривать функцию

не содержащую ультрафиолетовых расходимостей в пределе . Получаем

Обратимся к случаю, когда . Производя в (25) замену переменной получаем:

где

Интеграл можно оценить приближенно, воспользовавшись тем, что . Получаем таким путем

Подобным образом в случае, когда , заменой переменной приходим к выражению

где

Объединяя выражения (26) и (27), получаем окончательное выражение для функции Грина электрона в модели Блоха — Нордсика:

где

Сравнивая (28) с (3), видим, что полная функция Грина отличается от функции Грина свободного поля множителем

Если разложить полную функцию в ряд по степеням то в низшем приближении получим логарифмические члены

характерные для инфракрасной катастрофы.

В следующей главе (§ 50.3) будет показано, что инфракрасная особенность электронной функции Грина в обычной спинорной электродинамике также имеет характер (28).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление