Главная > Физика > Введение в теорию квантованных полей
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА VII. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА И ДИНАМИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ

§ 39. Уравнение Шредингера для амплитуды состояний

39.1. Уравнение для ... в вариационных производных.

При изучении взаимодействия свободных полей до сих пор мы рассматривали положения, когда взаимодействие эффективно в конечной пространственно-временной области. С помощью соответствующего предельного перехода, в процессе которого «область эффективности» взаимодействия неограниченно расширяется, мы получали возможность определить элементы матрицы рассеяния. Последние, в свою очередь, позволили вычислять эффективные сечения для процесса рассеяния, в начале и конце которого частицы можно считать свободными. Однако этим не исчерпывается круг задач, стоящих перед теорией. Мы имеем в виду вопросы определения энергетических и иных характеристик связанных состояний, времен жизни возбужденных состояний, эффективных поперечных сечений процессов в случаях, когда в начальном и конечном состоянии имеются связанные комплексы частиц, и т. п.

Для решения этих задач матрица рассеяния недостаточна; оказывается необходимым иметь инструмент более детального описания системы, например уравнение типа уравнения Шредингера. Для естественного построения такого уравнения будем исходить формально из установленного ранее соотношения (20.13):

где Ф — постоянная, — матрица рассеяния при взаимодействии, включенном с интенсивностью g, а — амплитуда состояния, в котором находится система, испытавшая взаимодействие указанной интенсивности. Варьируя это соотношение по функции и используя условие унитарности матрицы получаем:

Поэтому, вводя оператор (ср. §§ 21.2, 31.2)

    (21.10)

можем записать

или, в интегральной форме,

Уравнение (2) по своей форме является вариационным аналогом уравнения Шредингера, а оператор играет роль обобщенного гамильтониана (точнее, плотности обобщенной функции Гамильтона). Более того, аналогия с уравнением Шредингера увеличивается и, как мы увидим ниже, формально приводит к совпадению, если функцию устремить к разрывной функции, равной единице для всех точек 4-пространства, имеющих временную координату, меньшую некоторого фиксированного

и равную нулю для всех точек . Такая очевидно, описывает процесс мгновенного выключения взаимодействия во всем трехмерном пространстве в момент времени Амплитуда состояния при этом становится функцией параметра и может быть обозначена через

Но и в обычной теории такое понятие, как волновая функция в момент времени , может быть введено с помощью процесса мгновенного выключения взаимодействия в момент времени . После такого выключения волновая функция перестает изменяться, и мы имеем просто

Если при этом произвести выключение взаимодействия не на 4-плоскости а на некоторой пространственно-подобной 4-поверхности а:

то мы получим известное ковариантное уравнение в форме Томонага—Швингера. При этом, как в обычном уравнении Шредингера, плотность гамильтониана будет зависеть от поведения полей в бесконечно малой окрестности точки Наша точка зрения отличается от обычной тем, что мы используем процесс непрерывного, а не мгновенного выключения взаимодействия.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление