Главная > Физика > Введение в теорию квантованных полей
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

37.4. Вершинные функции.

Заметим, что введенные в (29) высшие функции Грина включают все слабо-связные (т. е. одночастично приводимые) вклады. На рис. 55, иллюстрирующем это замечание, сильно-связные части диаграмм отмечены двойной штриховкой.

Рис. 65.

Для того чтобы ввести величины, соответствующие сильно-связным диаграммам, проведем функциональное преобразование Лежандра:

введя вместо функционального аргумента J новый независимый функциональный аргумент Ф (т. е. обратив функциональную связь ).

Как будет установлено ниже, является производящим функционалом для сильно-связных функций Грина. Мы будем называть их вершинными функциями (иногда для краткости — вертексами).

Выведем сперва одно полезное вспомогательное соотношение. Дифференцируя формулу (26) по , получаем по правилам дифференцирования сложной функции

С учетом (27) получаем отсюда

Здесь мы ввели функцию обратную к в смысле интегральной свертки в х-представлении:

Отметим, что в импульсном представлении (в трансляционноинвариантном пределе соотношение (32) принимает алгебраическую форму

Рассмотрим теперь последовательно вариационные производные от W. Имеем, с учетом (26),

Таким образом, функционал обладает важным свойством стационарности. В пределе выключения внешних токов его первая производная обращается в нуль.

Дифференцируя повторно по , находим с помощью (31)

Эта величина представляет собой фурье-образ обратного (в алгебраическом смысле) пропагатора

и поэтому представляется суммой сильно-связных диаграмм. Дифференцируя (33) еще раз по , получим, после небольших преобразований

Соотношение (34) говорит нам, что вершинная функция

отличается от трехконцевон функции Грина (ср. (28)) отсутствием множителей, соответствующих внешним линиям (переход от соответствует «ампутации» внешних факторов (ср. рис. 55, в и рис. 56, в).

Отметим, что из (33) также следует соотношение

Мы предоставляем читателю в виде упражнения получить формулу, связывающую с четырехконцевой вершинной функцией , графически проиллюстрированную на рис. 56, в.

Рис. 56.

Таким образом, функционал W (Ф) является производящим функционалом

для вершинных (т. е. сильно-связных) функций.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление