Главная > Физика > Введение в теорию квантованных полей
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 32. Классификация ренормируемости теорий

32.1. Взаимодействия первого и второго рода.

Как было установлено в § 29, изменение эффективного лагранжиана взаимодействия путем введения в него контрчленов обусловлено наличием сильно связных диаграмм G с неотрицательным индексом . Рассмотрим связь между строением таких диаграмм и структурой соответствующих контрчленов в х-представлении.

Если упомянутая диаграмма объединяет вершин и обладает s внешними линиями, то соответствующий квазилокальный оператор будет иметь вид

причем степень полинома Z равна индексу диаграммы . Интегрируя это выражение по всем переменным кроме одной, мы получим контрчлен лагранжиана. При выполнении этих тривиальных интеграций производные с -функций перейдут на операторы поля и и результат представится в виде нормального произведения некоторого числа операторных функций поля и их производных. При этом суммарная степень производных оказывается равной индексу диаграммы , а «степень» всего выражения по операторным функциям — числу внешних линий

Поэтому, если какая-либо теория (полностью определяемая основным «затравочным» членом лагранжиана взаимодействия и структурой причинных функций) приводит к сильно связным диаграммам с неотрицательным индексом, у которых числа и s оказываются ограниченными, то для полного исключения всех расходимостей такая теория требует введения контрчленов конечного числа типов. Под типом контрчлена здесь подразумевается его операторный тип и степень производных у каждого оператора ноля. В противном случае число типов контрчленов оказывается бесконечным.

Проанализируем теперь зависимость индексов от числа внешних и внутренних линий диаграммы. Введем для этого понятие индекса вершины, определив его равенством

причем суммирование производится по всем внутренним линиям, входящим в вершину. Нетрудно заметить, что индекс диаграммы выражается через индексы входящих в диаграмму вершин следующим образом:

поскольку каждая внутренняя линия входит одновременно в две вершины. Для данного типа вершин индекс принимает максимальное значение в том случае, когда все линии, входящие в вершину, оказываются внутренними. Если

то из (2) следует, что

Напротив, если для некоторых типов вершин

то всегда можно построить такую диаграмму G, содержащую достаточное число вершин этого типа, чтобы оказалось большим любого наперед заданного числа. Таким образом, либо индекс диаграмм не превышает четырех, либо он может быть сделан сколь угодно большим.

Учитывая, что

где — индексы внешних линий, входящих в данную вершину, зависимость от числа внешних линий можно записать в виде

суммирование в последнем члене производится по всем внешним линиям данной диаграммы.

Поэтому в случае (3) число внешних линий диаграммы с положительным индексом не превышает четырех. В этом случае обе величины и s ограничены числом 4, количество типов соответствующих контрчленов оказывается конечным и может быть осуществлена

их детальная классификация. В случае же (4) обе суммы в правой части (5) могут быть сделаны сколь угодно большими при неотрицательном . Обе характеристики, в и оказываются неограниченными, и для компенсации расходимостей возрастающих порядков приходится вводить контрчлены с возрастающими степенью «линейности» и количеством производных. Замкнутого выражения для полного эффективного лагранжиана при этом получить не удается.

В соответствии с указанным типы взаимодействий могут быть разбиты на два класса:

а) взаимодействия первого рода (все );

б) взаимодействия второго рода (некоторые из Соответствующие теории называются ренормируемыми и перенормируемыми.

По поводу введенного определения нужно сделать только одну существенную оговорку. Дело в том, что в некоторых случаях отдельные вершинные факторы могут взаимно компенсироваться и тем самым снижать эффективное значение Рассмотрим, например, взаимодействие обычного фермионного поля (спин 1/2) с нейтральным векторным мезонным полем типа

При непосредственном вычислении воспользовавшись тем, что спаривание векторного поля в -представлении имеет вид

и, следовательно, для него равны 2, получим, очевидно, и отнесем лагранжиан (6) к неренормируемому типу. В действительности, однако, этот лагранжиан описывает взаимодействие первого рода. Следуя Штюкельбергу (1938), разобьем поле на поперечную и продольную части:

со спариваниями

Видно отсюда, что неренормируемость лагранжиана (6) обусловлена продольной частью векторного поля. Можно показать теперь, что соответствующий член в лагранжиане взаимодействия

имея структуру: (сохраняющийся ток) x (градиент), не дает вклада в матричные элементы, вследствие чего продольное поле В фактически выпадает из -матрицы, эффективные значения - и индексы вершины понижаются до нуля и лагранжиан (6) оказывается ренормируемым.

Подобного рода вопросы об «эффективном изменении спариваний» под действием канонических преобразований типа градиентного будут специально обсуждаться ниже после рассмотрения условий сохранения заряда и градиентной инвариантности, которых мы пока не затрагивали.

Не рассматривая здесь детально этих весьма специальных случаев компенсации особенностей, обязанных своим существованием некоторой группе преобразований, дадим сейчас общую классификацию простейших лагранжианов, подобных введенным в § 8.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление