Главная > Физика > Введение в теорию квантованных полей
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

29.3. Графическое представление процедуры вычитания и R-операция.

Наши предыдущие рассуждения имели в основном характер теоремы существования, поскольку не была указана конкретная процедура построения операторов а следовательно, и . Мы дадим сейчас конструктивную форму теоремы Хана—Банаха, т. е. рецепт построения и конечных При этом оказывается удобным работать с графическими представлениями.

Коэффициентная функция T-произведения, соответствующая какой-либо данной диаграмме с v вершинами и заданными внутренними линиями представляется произведением регуляризованных причинных функций типа

Коэффициентные функции квазилокального оператора для той же диаграммы представляют собой произведение -функций и их производных. Поэтому вся совокупность точек на диаграмме выступает как единое целое, так что при операциях с удобно ввести понятие обобщенного узла G (см. рис. 24). Соответствующую данному обобщенному узлу G коэффициентную функцию оператора обозначим через Обратимся теперь к выражению вида

Его коэффициентные функции могут быть получены из коэффициентных функций оператора (1) следующей процедурой. Рассмотрим

какую-либо диаграмму, соответствующую оператору (1). Объединяя на ней точки в обобщенную вершину G, заменим произведение (7), соответствующее внутренним по отношению к G линиям коэффициентной функцией Операцию такой замены формально обозначим символом A (G). Тогда коэффициентные функции оператора (8) будут получаться из коэффициентных функций оператора (1) операцией

В более общем случае произвольному члену под знаком суммы в правой части (6) может быть сопоставлено разбиение всей диаграммы G на поддиаграммы

(диаграмма G выступает здесь как топологическое произведение . Коэффициентные функции выражения

могут быть получены из коэффициентных функций оператора (1) с помощью операции

заключающейся в объединении точек в обобщенные узлы (вершины) и в замене множителей произведения (7), соответствующих внутренним по отношению к каждой из линиям, на при сохранении неизменными факторов, соответствующих линиям, соединяющим различные обобщенные вершины.

Итак, можно получить из Т применением операции

Сумма здесь берется по всем возможным разбиениям совокупности точек диаграммы G на обобщенные узлы Симметрия связанная с оператором симметризации Р, входящим в (2), в данном случае обеспечивается тем, что при таком разбиении точки выступают совершенно симметрично.

Подчеркнем также, что если при разбиении диаграммы какой-либо из обобщенных узлов совпадает с обычной вершиной то в сумме правой части (9) соответствующую операцию следует считать единичной, поскольку согласно соглашению, сформулированному перед (6), квазилокальный оператор совпадает с лагранжианом.

Операция R (G) определена пока чисто формально. Она получит конкретное содержание, когда будут установлены правила определения функции для данной диаграммы G. Задавая мы тем самым определяем и, следовательно, Выберем по соображениям интегрируемости при

Прежде чем приступить к формулировке способа построения введем некоторые понятия. Мы будем говорить, что данная диаграмма связная, если ее нельзя разбить на части, которые не соединены друг с другом линиями. Если же диаграмма G распадается на связные поддиаграммы между которыми соединения отсутствуют, то мы назовем G несвязной, а об ее «кусках» будем говорить как о компонентах связности. Связную диаграмму будем называть слабо связной, если ее можно превратить в несвязную снятием одной линии, и сильно связной, если это невозможно.

Заметим теперь, что для несвязной диаграммы коэффициентная функция -произведения представляется в виде произведения двух коэффициентных функций с различными аргументами. Но произведение двух функций с различными аргументами является сходящимся, когда сходится каждая функция в отдельности. Отсюда вытекает, что в несвязной диаграмме расходимости автоматически устраняются после того, как они устранены в ее связных частях. Поэтому оператор A (G) для несвязных диаграмм следует считать равным нулю.

При таком выборе A (G) операция R (G), приложенная к коэффициентной функции Т-произведения, которая соответствует диаграмме G, состоящей из двух компонент связности распадается на произведение двух операций , действующих порознь на коэффициентные функции, соответствующие диаграммам G и

Для слабо связных диаграмм мы приходим к коэффициентным функциям типа

Ввиду трансляционной инвариантности положив

мы получим произведение коэффициентных функций с независимыми аргументами

Все выражение также будет сходящимся, если сходятся в отдельности К и Q. Поэтому для слабо связных диаграмм также следует положить

Здесь, как и в предыдущем случае, ясно, что при данном выборе оператора A (G) коэффициентные функции оператора для слабо связных диаграмм имеют структуру (10). Итак, в (9) можно рассматривать лишь разбиения G на сильно связные обобщенные вершины

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление