Главная > Физика > Введение в теорию квантованных полей
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

27.2. Выделение из расходящейся части.

Подставляя полученное значение в (12), получаем

второй член при сходится к определенному пределу, равному

Разбиение (14) сделано так, что

Первый член в (14) при очевидно, расходится логарифмически.

Переходя к конфигурационному представлению, получаем при достаточно больших М

где

а фурье-образ функции представляется вторым членом выражения (14). Повторяя рассуждение § 18, убеждаемся, что при ) сходится в несобственном смысле к интегрируемой функции

фурье-образ которой представляется выражением (15). В целом же функция из-за фактора не будет сходиться при даже в несобственном смысле. Поскольку, кроме того,

первый член (17) исчезает при , можно написать:

Мы произвели здесь выделение расходящейся части из сингулярной функции Подчеркнем, однако, что операция выделения сингулярности является неоднозначной. В самом деле, представляя например, в виде

где

а — произвольная конечная масса, мы получили бы для регулярной части выражение, отличающееся от членами, пропорциональными и ее первым производным.

Изменение подобного характера в конечной части можно получить при переходе к какому-либо другому способу регуляризации. Например, если регуляризовать введением в интеграл (4) обрезающего множителя Фейнмана (19486, 19496)

что в нашей записи эквивалентно регуляризации лишь фотонной -функции, то результат может быть представлен в виде

где регулярная функция в импульсном представлении отличается от 2 на величину

Таким образом, видно, что при снятии регуляризации к определенному пределу сходится не , а, например, выражение, получающееся путем вычитания из него двух первых членов ряда Маклорена:

Последнее выражение сходится к пределу, не зависящему от способа регуляризации, так как добавление к любого полинома первой степени по не меняет написанного «остаточного» члена (19).

Общее выражение для получим, прибавляя к (19) произвольный полином первой степени по . Из соображений релятивистской

ковариантности этот полином должен иметь вид

и, следовательно, общее выражение для получим в виде

Соответственно в х-представлении выражение для 2 определено с точностью до члена

исчезающего при т. е., как и следовало ожидать из общих соображений, произвол в этом члене T-произведения имеет место лишь в бесконечно малой окрестности точки х = 0.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление