Главная > Методы обработки данных > Графы, сети и алгоритмы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Часть II. Теория электрических цепей

11. Графы и электрические цепи

Электрическая цепь есть соединение таких элементов электрической цепи, как резисторы, емкости, индуктивности, а также источники напряжения и тока. Каждому элементу цепи сопоставляются две переменные: переменная напряжения и переменная тока Для этих переменных необходимо определить исходные направления, так как они являются функциями времени и могут принимать положительные и отрицательные значения. Это делается указанием стрелкой, названной направлением, для каждого элемента цепи (рис. 11.1). Эта стрелка означает, что величина положительна, если ток течет по направлению стрелки.

Рис. 11.1. Представление элемента цепи.

Далее принимаем, что полярность напряжения считается положительной у оперения стрелки. Таким образом, величина является положительной, когда падение напряжения в элементе цепи направлено вдоль стрелки. Элементы цепи характеризуются физическими соотношениями между переменными тока и напряжения. Иногда может оказаться необходимым, чтобы для некоторых элементов цепи были заданы значения напряжения, а для других — значения токов. Такие элементы называются источниками напряжения и тока соответственно.

Двумя фундаментальными законами теории электрических цепей являются законы Кирхгофа, которые можно сформулировать следующим образом:

Закон Кирхгофа для токов (ЗКТ). Алгебраическая сумма токов, вытекающих из узла, равна нулю.

Закон Кирхгофа для напряжений (ЗКН). Алгебраическая сумма напряжений в любом замкнутом контуре равна нулю.

Например, для цепи, показанной на рис. 11.2, а, уравнения ЗКТ и ЗКН приведены ниже:

Уравнения ЗКТ

Уравнения ЗКН

Для заданной электрической цепи N задача анализа состоит в том, чтобы определить напряжения и токи в элементах, которые удовлетворяют законам Кирхгофа, и соотношения ток — напряжение, характеризующие различные элементы, образующие цепь.

Рис. 11.2. Представление цепи ориентированным графом. а — цепь — ориентированный граф

Отметим, что уравнения, которые возникают при применении законов Кирхгофа, носят алгебраический характер и зависят только от взаимосвязи элементов в цепи, а не от их природы. Существует несколько свойств электрической цепи, которые зависят от ее структуры. Изучая такие свойства, удобнее рассматривать каждый элемент цепи как ориентированное ребро, связанное с двумя переменными: Таким образом, можно рассматривать схему электрической цепи как ориентированный граф, в котором каждому ребру сопоставлены две переменные: необходимые для выполнения законов Кирхгофа и некоторых определенных физических соотношений. Например, ориентированный граф, соответствующий цепи, представленной на рис. 11, 2, а, изображен на рис. 11.2, б.

Легко видеть, что уравнения ЗКТ и ЗКН для цепи N можно записать как соответственно, где — матрица разрезов и цикломатическая матрица ориентированного графа, сопоставленного цепи N, а и — вектор-столбцы токов и напряжений соответственно на элементах цепи N. Во всех рассуждениях в этой и последующих главах будем обозначать как электрическую цепь, так и соответствующий ей ориентированный граф одним и тем же символом. Чаще всего граф будет пониматься как цепь и наоборот. Таким образом, такие относящиеся к графу определения, как связность, цикломатическое число, ранг, оказываются применимыми и к цепи. Также будем понимать под узлом вершину.

В этой главе мы обсудим некоторые аспекты анализа цепей, которые в значительной степени зависят от теории графов. Нашей основной задачей здесь будет подчеркнуть полезность теории графов при систематическом построении уравнений цепи и раскрытии некоторых фундаментальных свойств электрических цепей.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление