Главная > Методы обработки данных > Графы, сети и алгоритмы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

12.2. K-матрицы резистивной (n-полюсной цепи ранга n)

В этом разделе обсуждаются некоторые важные свойства Г-мат-риц резистивных -полюсных цепей ранга п. Очевидно, что эти -полюсные цепи имеют узлов. Поэтому мы их называем -узловыми -полюсными цепями. Во всех рассуждениях принимаем, что в рассматриваемой цепи не существует отрицательных проводимостей.

12.2.1. Основные свойства

Рассмотрим -узловую резистивную -полюсную цепь с полюсной конфигурацией Т. Из выражения (12.10) известно, что матрица проводимостей Y короткого замыкания цепи N задается выражением

где — базисная матрица сечений цепи N по отношению к — диагональная матрица реберных проводимостей. Например,

Рис. 12.3. 6-полюсная цепь и ее полюсная конфигурация (все проводимости даны в сименсах).

для -полюсной цепи, показанной на рис. 12.3, имеем

    

и

Следовательно, для этой цепи

    (12.20)

Ниже будем обозначать через проводимость ребра связывающего вершины i и . Полагаем, что строка i в матрице соответствует полюсу i. Для дальнейшего обсуждения требуется ввести несколько определений.

Говорят, что проводимость стягивает полюс цепи N, если полюс лежит на единственном пути в Т между вершинами . Например, в цепи на рис. 12.3 проводимость стягивает все те полюса, которые входят в образуемый ею базисный цикл.

В литературе по теории цепей висячая вершина в Т обычно называется концевой вершиной. Аналогично висячий полюс в Т называется концевым полюсом. Поэтому во всех обсуждениях данной главы используются термины «концевая вершина» и «концевой полюс» вместо «висячая вершина» и «висячий полюс». Далее используется также термин коротко-замкнутая вместо стянутая.

Дерево называется линейным, если оно имеет точно две концевые вершины. Другими словами, линейное дерево есть путь. Например, полюса 1, 2 и 5 на рис. 12.3 образуют линейное дерево.

Дерево называется звездой, если все его ребра имеют общую вершину, называемую вершиной звезды. Другими словами, звезда имеет только одну неконцевую вершину. Например, полюса 1, 2 и 4 на рис. 12.3 образуют звезду.

Говорят, что два полюса i и j подобно ориентированы, если они ориентированы в одном направлении в любом пути в Т, содержащем эти полюса. В противном случае они называются противоположно ориентированными. Рассмотрим произвольный диагональный элемент матрицы Y. По теореме 2.15 ненулевые элементы в строке соответствуют всем тем проводимостям, которые стягивают полюс i. Поэтому из (12.19) получаем

    (12.21)

Рассмотрим далее произвольный недиагональный элемент матрицы Y. Пусть обозначает элемент матрицы Q. Тогда известно (упражнение 6.1), что если для любых и любых и s произведения являются ненулевыми, то они имеют одинаковый знак.

Поэтому из выражения (12.19) получим

Теперь необходимо определить знак Предположим, что для некоторого произведения Тогда знак будет тем же самым, что и знак Поскольку сомножители произведения не равны нулю, очевидно, что оба полюса i и принадлежат базисному циклу С, образованному проводимостью, которая соответствует столбцу в Имеем два случая. Сначала допустим, что полюса i и подобно ориентированы. Тогда ориентации обоих полюсов будут совпадать или не совпадать с ориентацией цикла С. Другими словами, оба элемента будут иметь одинаковый знак. Следовательно, в этом случае — положительно.

С другой стороны, если полюса i и противоположно ориентированы, то они будут иметь и обратную относительную ориентацию в цикле С, так что будут иметь обратные знаки. В этом случае — отрицательно. Отсюда имеем следующую теорему:

Теорема 12.1. Если полюса i и подобно ориентированы, то положительно, в противном случае — отрицательно. Следующий результат легко получается из теоремы 12.1.

Теорема 12.2. 1. Если полюса и k образуют линейное дерево, когда все другие полюса являются короткозамкнутыми, Если полюса и к образуют звезду, когда все другие полюса короткозамкнуты, то . Можно проиллюстрировать справедливость теорем 12.1 и 12.2 с помощью -матрицы -полюсной цепи, изображенной на рис. 12.3.

Теорема 12.3. Предположим, что полюсы и k образуют линейное дерево, когда все остальные полюса короткозамкнуты. Далее, допустим, что в этом линейном дереве полюса имеют порядок и к. Тогда Приведенный выше результат следует из того факта, что каждая проводимость, которая стягивает полюса I и k, также неизбежно стягивает полюс Важное следствие из теоремы 12.3 формируется следующим образом:

Следствие 12.3.1. Пусть — ненулевой элемент матрицы Y, имеющий минимальное значение. Тогда существует точно одна проводимость, которая стягивает полюса i и Величина такой проводимости равна Другими словами, строки i и матрицы содержат ненулевые элементы одновременно только в одном столбце. (Предполагается, что параллельные проводимости объединены в одну.)

Например, в матрице У из выражения — ненулевой элемент с минимальным значением, (рис. 12.3) — единственная проводимость, стягивающая оба полюса 2 и 4.

Теорема 12.4. Пусть максимальное значение элементов в -строке матрицы У равно и пусть элементы, имеющие значение встречаются одновременно в этой строке в позициях столбцов и только в них. Тогда подграф, образованный полюсами i, связный.

Доказательство. Если подграф, образованный множеством полюсов не является связным, то в этом множестве существует некоторый полюс d, которого нет в компоненте, содержащей полюс Так как Т является связным, то в нем существует такой полюс , не принадлежащий множеству что полюса образуют линейное дерево с тремя полюсами, появляющимися в этом порядке, когда все другие полюса в Т короткозамкнуты.

Отметим, что по теореме Так как — элемент, имеющий максимальное значение в строке матрицы У, то следует, что Поэтому

— также элемент множества что приводит к противоречию. Отсюда следует, что подграф, состоящий из полюсов связный.

Теорема 12.5. Пусть наименьший элемент в строке t матрицы Y есть где возможно, равен нулю. Пусть в этой строке элемент с меньшим значением появляется одновременно в позиции столбцов и только в них. Тогда подграф, образованный всеми полюсами Т, отличными от связен.

Доказательство. Если граф, который определен в теореме, не является связным, то существует полюс j из множества а полюс k, не принадлежащий такой, что полюсы i, j и k образуют линейное дерево, когда все другие полюсы Т короткозамкнуты. По теореме 12.3 имеем Поскольку (минимальному по величине элементу в строке из У), то следует, что и k принадлежит множеству что приводит к противоречию.

Обе приведенные выше теоремы иллюстрируются с помощью матрицы У из выражения (12 20).

Из формул (12.21) и (12.22) видно, что для всех i и Это является только частным случаем более общего свойства, называемого схемноспгью, которое обнаруживает К-матрица. Вещественная симметрическая матрица называется схемной, если каждый главный минор матрицы не меньше значения любого другого минора, построенного из тех же самых строк (или столбцов).

В работе [12.1] показано, что любая матрица где К — унимодулярная матрица, диагональная матрица с вещественными положительными элементами, является схемной. Так как матрица унимодулярна, то из (12.19) можно заключить, что матрица проводимостей короткого замыкания резистивной -полюсной цепи является схемной. Фактически также можно показать, что матрицы проводимостей короткого замыкания и сопротивлений холостого хода любой -полюсной цепи являются схемными.

Например, рассмотрим миноры

матрицы Y из выражения (12.20). Оба этих минора построены из первых трех строк матрицы, причем первый является главным минором. Можно проверить, что убеждаясь, что . Для детального обсуждения свойств схемных матриц можно обратиться к работе [12.2]. Далее охарактеризуем К-матрицы -узловой резистивной -полюсной цепи, имеющей конфигурацию в виде линейного дерева или звезды. В последующем обсуждении говорим, что матрица Y представима в особой форме, если ее можно привести к этой форме одним или более применением следующих операций:

1) переставить две любые строки и соответствующие столбцы; 2) изменить знаки всех элементов в любой строке и соответствующем столбце.

Заметим, что эти две операции соответствуют перенумерации и изменению ориентации некоторых полюсов.

12.2.2. Полюсная конфигурация в виде звезды

Рассмотрим -матрицу -узловой -полюсной цепи N, имеющей полюсную конфигурацию в виде звезды. Положим, что все полюса в Т ориентированы к вершине звезды (рис. 12.4). Обозначим центральную вершину звезды через . Пусть другие вершины звезды обозначаются через , так что вершины и образуют входы полюса . Тогда из выражения (12.21) имеем

    (12.23)

Рис. 12.4. Звезда.

Далее, по теореме 12.1

    (12.24)

Поэтому из выражения (12.22) получим Теперь можно видеть из формул (12.23) и (12.25), что для всех

    (12.26)

Вещественная симметричная матрица является гипердоминантной, если она удовлетворяет неравенствам (12.24) и (12.26), т. е. является неположительным для всех

Можно легко получить из формул (12.23) и (12.25) следующие выражения для проводимостей цепи

Проводимости рассчитываемые, как показано выше, будут неотрицательными, если матрица Y удовлетворяет неравенствам (12.24) и (12.26). Таким образом, мы доказали следующее:

Теорема 12.6. Вещественная симметричная матрица Y реализуема как матрица проводимостей короткого замикания -узловой резистивной -полюсной цепи, имеющей полюсную конфигурацию в виде звезды и не содержащей отрицательных проводимостей тогда и только тогда, когда она представима в гипердоминантной форме.

12.2.3. Полюсная конфигурация в виде линейного дерева

Рассмотрим У-матрицу -узловой резистивной -полюсной цепи, имеющей полюсную конфигурацию в виде линейного дерева Т. Пусть вершины Т помечены последовательно, начиная от концевой вершины, и пусть вершины i и образуют положительные и отрицательные входы полюса i (рис. 12.5).

Рис. 12.5. Линейное дерево.

Так как все полюса дерева Т подобно ориентированы, по теореме 12.1 имеем

Далее по теореме 12.3 имеем для всех

    (12.28)

Выведем простое выражение для проводимости исходя из элементов У-матрицы.

Предположим, что все полюса будут короткозамкнутыми, кроме полюсов и где Тогда в результате получится цепь, представленная на рис. 12.6, в которой отмечены только интересующие нас проводимости.

Рис. 12.6.

Теперь легко показать, что . Из приведенного выше получим

    (12.30)

Можно также доказать следующее:

    (12.31)

Вещественная симметричная матрица называется однородно сужающейся, если для всех для для для . Из выражения (12.27) с помощью (12.31) получаем следующую теорему:

Теорема 12.7. Вещественная симметричная матрица является реализуемой как матрица проводимостей короткого замыкания -узловой резистивной -полюсной цепи, имеющей полюсную конфигурацию в виде линейного дерева и не содержащей отрицательных проводимостей, тогда и только тогда, когда матрица Y представима в однородно сужающейся форме.

Для заданной однородно сужающейся матрицы автор работы [12.3] разработал следующую простую процедуру получения проводимостей -полюсной цепи, реализующей матрицу

1. Сначала построить из заданной однородно сужающейся -матрицы У такую новую -матрицу У, что а) первая строка матрицы У является такой же, как и первая строка матрицы У; б) для всех строка матрицы У отличается от строк матрицы У.

2. Построить такую -матрицу что а) последний столбец матрицы У" является таким же, как и последний столбец матрицы У; б) для всех столбец матрицы У" отличается от столбцов матрицы У. Тогда можно видеть, что для всех Например, для однородно сужающейся матрицы соответствующими -матрицами будут

В приведенных выше матрицах У и У" не показаны элементы ниже диагоналей, так как эти элементы не представляют интереса при вычислении проводимостей

12.2.4. Полюсное преобразование

Рассмотрим две различные -узловые -полюсные цепи N и А, построенные на основе одной и той же резистивной цепи. Пусть являются полюсными конфигурациями цепей соответственно. Выведем выражение, связывающее матрицы проводимостей короткого замыкания этих -полюсных цепей. Пусть являются базисными матрицами сечений цепей N и N по отношению к соответственно. Тогда где — диагональная матрица проводимости ребер рассматриваемой резистивной цепи.

Рассмотрим граф Базисную матрицу сечений Т по отношению к Т можно записать следующим образом:

Затем можно выразить в виде

    (12.32)

Следовательно,

    (12.33)

Теперь из формулы (11.8) имеем где — векторы полюсных напряжений цепей N и N соответственно. Таким образом,

    (12.34)

Объединяя выражения (12.33) и (12.34), получаем следующую теорему:

Теорема 12.8. Пусть N и N являются -полюсными цепями, построенными на основе одной и той же резистивной цепи. Если , то

Заметим, что матрицу К в этой теореме легко получить, рассматривая Т и Т. Например, рассмотрим две -полюсные цепи N и N, представленные на рис. 12.7. Эти -полюсные цепи строятся из одной и той же исходной цепи. Матрица проводимостей короткого замыкания цепи N имеет вид

(см. скан)

Рис. 12.7. а — цепь N; б — цепь (все проводимости приведены в сименсах).

Векторы взаимосвязаны следующим образом:

Теперь можно убедиться, что

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление