Главная > Физика > Колебания: Введение в исследование колебательных систем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6.1.4. Гравитационный маятник на упругой нити

На частном примере гравитационного маятника, подвешенного на упругой нити (рис. 187), покажем, что связанные колебания не всегда можно представить путем простого сложения главных колебаний и что здесь могут иметь место значительно более сложные явления.

Если нить (или спиральная пружина) маятника, массой которой пренебрегают, в ненапряженном состоянии имеет длину

где . Используя эти выражения и уравнения Лагранжа второго рода, получаем

Теперь целесообразно ввести новую переменную х и следующие обозначения:

При этом уравнения (6.25) принимают вид

Общее решение этой нелинейной системы уравнений неизвестно. Однако нетрудно найти частное решение, для которого

Маятник в этом случае колеблется только вертикально, поэтому

Рис. 187. Маятник на упругой нити.

Это однопериодическое движение можно рассматривать как главное колебание. Однако второе главное колебание находится лишь тогда, когда предполагается, что и соответственно этому в уравнениях опускаются все члены высшего порядка (по переменным и ), начиная со второго порядка. Тогда сами переменные оказываются главными координатами, так как в уравнениях движения (6.26) остаются лишь левые части, в каждую из которых входит только одна перемен Хотя, таким образом, при дифференциальные уравнения формально становятся совершенно несвязан ными, все же возможно взаимное влияние обеих колебаний. В дан ном случае оно состоит в неустойчивости основного колебания (6.27).

Чтобы объяснить это взаимное влияние, рассмотрим близкие к основному колебанию (6.27) движения и для этого положим

причем отклонения от главных координат, отмеченные волной, предполагаются столь малыми, что по ним возможна линеаризация. При этом из уравнения (6.26) получаются новые уравнения для координат близкого движения:

Хотя для отклонений х и эти уравнения и не связаны друг с другом, все же в силу второго из них движение по координате зависит от основного движения х. Поэтому уравнение для имеет периодические коэффициенты, и его нужно исследовать способом, рассмотренным в гл. 4 для параметрических колебаний. Уравнение (6.28) для совпадает с уравнением типа (4.31) при

Оба коэффициента имеют одинаковую круговую частоту так что замена переменного (4.32) приводит к дифференциальному уравнению Хилла (4.33), причем единственный входящий в это уравнение коэффициент является периодическим с частотой

Из теории уравнения Хилла, которая ранее была рассмотрена для частного случая, а именно для уравнения Матье, известно, что если между собственной частотой осциллятора и частотой изменения коэффициента существуют определенные целочисленные отношения, то могут появляться области неустойчивости решения. В данном случае возможны неустойчивые решения в окрестности частот

Приближенно можно использовать полученные для уравнений Матье области устойчивости (рис. 128), отложив по оси абсцисс величину

Тогда видно, что область для , т. е. для является наиболее опасной в смысле возникновения связанных колебаний, так как она обладает наибольшей шириной. Область неустойчивости в данном случае расширяется тем больше, чем больше возрастает амплитуда X основного колебания.

Из этих рассуждений следует, что всегда возможное основное колебание (6.27), когда масса маятника колеблется вертикально, при определенном соотношении собственных частот может вызывать колебания по координате В силу закона сохранения энергии это, конечно, возможно лишь за счет амплитуды основного колебания. Таким образом, в процессе колебаний энергия колебаний по координате х перекачивается в энергию колебаний по координате и, как показывают эксперименты, этот процесс происходит периодически в обоих направлениях. Происходящие при этом процессы внешне очень похожи на обычные связанные колебания, однако в их основе лежит совершенно другой механизм возникновения. В то время как обычные связанные колебания ранее рассмотренного типа можно исследовать методом малых колебаний, т. е. путем линеаризации уравнений движения, описанные здесь явления принципиально нельзя объяснить, работая с линеаризованными уравнениями. На эти важные обстоятельства указал Меттлер (Ing.-Arch., 1959, Bd. XXVIII, 213-228).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление