Главная > Физика > Колебания: Введение в исследование колебательных систем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.2.4. Общее периодическое возмущение; решение методом припасовывания

Хотя в принципе рассмотренным в разд. 5.2.2 методом можно рассчитать вынужденные колебания для периодических возмущений общего вида, практическое вычисление полученного решения может оказаться очень трудоемким. Покажем на простом примере, что в случае, когда возмущающая функция является кусочно постоянной, частное решение можно всегда найти элементарными средствами. Возьмем возмущающую функцию

соответствующую изображенной на рис. 161 функции типа меандра, только здесь начало координат помещено в точку скачка; период возмущающей функции обозначим через Поскольку кусочно постоянна, уравнение движения

можно решить в каждом интервале между двумя скачками возмущающей функции. Решение (см. формулу (5.5)) определяет затухающие колебания около положения равновесия

где . В интервале у k берется знак плюс, а в интервале знак минус. Постоянные которые пока еще не определены, должны быть выбраны таким образом, чтобы общее решение имело период При этом не только должно выполняться условие непрерывности и плавности перехода в местах скачков возмущения, но через полный период состояние должно

быть таким же, каким оно было при . Таким образом, задача заключается в следующем: через положение равновесия надо провести такие отрезки кривых свободного затухающего колебания, чтобы получилась непрерывная гладкая кривая о периодом

На рис. 162 это показано для трех различных областей частот. Вследствие симметрии возмущающей функции в данном случае достаточно исследовать процесс в интервале Тогда граничные условия будут такими:

Из этих условий можно найти обе постоянные. Подставив (5.82) в (5.83) и решив полученное уравнение относительно С, получим

Рис. 162. Периодические решения при возмущении, описываемом функцией типа меандра.

Так как величины С и представляют собой известные функции частоты возмущения.

Если по известному теперь решению (5.82) нужно построить резонансную кривую, т. е. зависимость максимальных отклонений от частоты, то прежде всего следует найти их максимумы относительно смещенного положения равновесия. Эти максимумы соответствуют значению которое определяется из соотношения

Максимумы получаются подстановкой в (5.82). Резонансная кривая может иметь несколько экстремальных значений. Из них нужно найти такое, которое представляет собой абсолютный максимум по отношению к положению равновесия

На рис. 163 результат вычислений значений максимумов представлен в виде рельефного изображения резонансных кривых, где можно проследить влияние частоты и демпфирования. В отличие от обычного построения резонансных кривых, когда по оси абсцисс откладывается частота или соответственно относительная частота на рис. 163 используется полу период колебаний Это делается для того, чтобы лучше выделить максимумы, так как при

обычном построении они накладывались бы друг на друга в области

Для частного случая отсутствия демпфирования можно вывести формулы для отклонения х и его максимумов. При будем иметь . Тем самым формулы (5.84) упрощаются:

а выражение (5.82) принимает вид

Отсюда видно, что резонансные кривые всегда пересекают ось абсцисс в местах скачков возмущающей функции, так как при выполняется равенство

Рис. 163. Рельефное изображение резонансных кривых при возмущении, описываемом функцией типа меандра.

Максимумы кривых расположены в середине отрезков между местами скачков. Для абсолютных максимумов имеет место

Более подробное описание рассмотренной здесь задачи читатель может найти в статье автора (Z. angew. Math, und Mech., 1951, Bd. 31, S. 324—329).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление