Главная > Физика > Колебания: Введение в исследование колебательных систем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.4. Математический маятник с параметрическим возбуждением

4.4.1. Постановка задачи и ее решение по областям

Рассмотрим на примере математического маятника с периодически меняющейся длиной влияние нелинейности характеристики возмущения на поведение параметрически возбуждаемого осциллятора. Уравнение движения такого осциллятора было уже составлено в разд. 4.1.6 (уравнение (4.9)) и имело вид

В разд. 4.2 на основании простых энергетических соображений были установлены математические зависимости для роста амплитуды в тех условиях, когда длина маятника меняется скачкообразно в моменты изменения направления движения и в моменты прохождения через нуль. Там же указывалось, что такой осциллятор типа

качелей можно считать самовозбуждающейся системой, поскольку длину маятника можно рассматривать как функцию . В этом разделе мы покажем, что раскачивание возможно и при чисто параметрическом возбуждении.

Рассмотрим математический маятник, движение которого описывается уравнением (4.51), и предположим, что длина маятника скачкообразно меняется по закону

(см. рис. 131).

В отличие от осциллятора типа качелей скачкообразные изменения длины маятника зависят теперь не от его положения, а происходят согласно заранее заданному постоянному периодическому закону с периодом

Рис. 131. Изменение длины L нити математического маятника параметрическом возбуждении.

Для выбранного закона изменения длины маятника во времени (4.52) можно получить точное решение задачи. В пределах каждого из двух интервалов 1 или 2 имеем Поэтому в уравнении (4.51) второй член равен нулю, и, следовательно, в промежутках между скачками справедливо известное уравнение свободных колебаний гравитационного маятника:

Здесь — собственная круговая частота малых свободных колебаний маятника, введенная для сокращения записи. Уравнение (4.53) было исследовано в разд. 2.1.3.2, и там было получено его решение (2.81):

Здесь — максимальное отклонение, — модуль эллиптической функции постоянная позволяет надлежащим образом выбрать начало отсчета времени. Необходимо также найти угловую скорость маятника , так как она будет использоваться в

дальнейшем; из (4.54) по правилам дифференцирования эллиптических функций получаем

Теперь запишем общие решения (4.54) или (4.55) для обеих областей, обозначив их соответствующими индексами. Так, в области 1 имеем

где

Аналогично в области 2 получаем

В дальнейшем нам потребуется также величина

В точках перехода от одной области к другой решения, полученные для различных областей, должны быть припасованы. Переход должен быть таким, чтобы координата менялась непрерывно, а при этом не будет непрерывной. Лучше всего это видно из закона изменения момента количества движения: в те промежутки времени (предполагаемые исчезающе малыми), когда масса маятника принудительно поднимается или опускается, действующие на нее силы (сила тяжести и сила натяжения нити) не могут оказать сколько-нибудь заметного влияния на момент количества движения относительно точки подвеса и, следовательно, этот момент остается неизменным:

Таким образом, условие припасовывания решений с учетом (4.58) можно представить в виде

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление