Главная > Физика > Колебания: Введение в исследование колебательных систем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.2.2. Влияние демпфирования и сухого трения

Чтобы оценить влияние этих сил сопротивления движению, построим приближенное решение для случая малых амплитуд колебаний. Предполагая, что можно приближенно принять

. Тогда соотношение (4.19) преобразуется к виду

Это приращение энергии должно быть равно потерям, обусловленным сопротивлением. Рассмотрим два случая: сила демпфирования, пропорциональная скорости,

и сила сухого трения, величина которой не зависит от скорости:

Работа, совершаемая этими силами,

рассеивается и отбирается от общей энергии осциллятора.

В случае силы демпфирования (4.23) такая потеря энергии составляет

Если закон колебаний известен, то можно определить и затем вычислить . Так как обычно величина мала по сравнению с полной энергией системы, для приближенного вычисления колебания можно считать синусоидальными:

Это допущение справедливо в таком интервале исследуемых амплитуд, в котором энергия, вносимая параметрическим возбуждением, приближенно равна потере энергии за счет демпфирования. Учитывая (4.27), из (4.26) получаем величину потери энергии за полупериод:

т. е.

Если величина приращения энергии больше величины , то колебания будут нарастающими; если , то колебания будут затухающими. Так как выражения (4.22) и

(4.28) одинаковым образом зависят от можно утверждать, что

Предельный случай соответствует стационарным колебаниям, которые в этом частном случае возможны при любом значении амплитуды удовлетворяющему, конечно, принятому допущению

В случае сухого трения (4.24) аналогичные вычисления дают для потери энергии величину

Рис. 127. Энергетическая диаграмма для колебаний качелей при наличии сухого трения.

Потеря энергии за полупериод будет равна

т. е.

Построив график потери энергии при сухом трении совместно с графиком приращения энергии (4.22) в зависимости от амплитуды получим диаграмму, представленную на рис. 127. Кривые пересекаются в точке, определяемой значением амплитуды

При меньших значениях амплитуд имеет место неравенство , т. е. в этом случае расходуется больше энергии, чем поступает извне и, следовательно, колебания затухают; наоборот, если амплитуда превышает предельное значение, определяемое формулой (4.30), то справедливо противоположное неравенство, а это означает, что колебания нарастают. Очевидно, что здесь мы имеем дело с осциллятором, который является устойчивым в малом и неустойчивым в большом. Для того чтобы происходили параметрически возбуждаемые колебания, необходимо такое начальное возмущение, при котором амплитуда превышает критическое значение

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление