Главная > Физика > Колебания: Введение в исследование колебательных систем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.2.4. Метод медленно меняющихся амплитуд

Как метод гармонического баланса, так и метод Ритца — Галеркина прежде всего позволяют судить только о возможных периодических колебаниях. Хотя оба этих метода можно использовать

и для описания непериодических процессов, для этой цели более удобным представляется другой метод, а именно метод медленно меняющихся амплитуд, предложенный Ван дер Полем и впервые примененный им для решения названного его именем уравнения (3.3). Метод описывается здесь лишь в основных чертах и поясняется на одном примере.

Гармонические выражения (3.11) справедливы для стационарных колебаний. Для их же применения к переходным колебательным процессам амплитуду следует считать функцией времени:

Основная идея метода состоит в том, что амплитуда рассматривается как функция, которая медленно меняется во времени и для которой следует положить

Поэтому в выражениях (3.26) для можно пренебречь первыми членами в силу их малости. Далее, если функцию аппроксимировать первыми членами ее разложения в ряд Фурье

то после подстановки в исходное уравнение (3.2) получится

Чтобы это равенство выполнялось для любого момента времени t, стоящие в скобках выражения должны одновременно обращаться в нуль:

Из этих соотношений можно найти частоту и амплитуду колебаний. В качестве примера снова рассмотрим уравнение (3.3), где

Подстановка гармонических выражений (3.26) после простых преобразований дает

Сравнение с соотношением (3.27) показывает, что в данном случае

В силу этого из (3.29) получаются условия

Первое из них совпадает с первым из условий (3,25), второе определяет зависимость амплитуды А от времени. Сразу же видно, что при

не происходит изменения амплитуды (ибо ), так что и здесь мы снова получаем уже найденное ранее значение стационарной амплитуды колебаний. Чтобы решить дифференциальное уравнение (3.31), умножим его на и введем новую переменную

Рис. 89. Переходный процесс, описываемый уравнением Ван дер Поля.

В результате получаем дифференциальное уравнение типа уравнения Абеля

решение которого известно:

отсюда

причем является начальным значением амплитуды А при Временная зависимость (3.33) представлена на рис. 89. При амплитуда с увеличением t (рис. 89) приближается к значению при наоборот, амплитудные кривые как в случае так и в случае асимптотически приближаются к стационарному значению

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление