Главная > Физика > Колебания: Введение в исследование колебательных систем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.2. Методы расчета

Системы уравнений движения автоколебательных систем всегда нелинейны. Для их решения был предложен ряд методов, которые мы не сможем здесь подробно рассмотреть. Вместо этого мы опишем в основных чертах и применим к простым примерам лишь некоторые типичные методы, чтобы получить представление о возможных применениях методов и о возникающих при этом трудностях. Здесь нам придется отказаться от строгих математических выводов: читатель может восполнить этот пробел, обратившись к работам [1,10,16, 19].

Уравнения движения автоколебательной системы имеют вид

Уравнения такого вида будут выведены в разд. 3.3 и 3.4; здесь же в качестве примера приведем уравнение Ван дер Поля

которое будет выведено в разд. 3.3. Этим уравнением описываются колебания ламповых генераторов, применяемых в радиотехнике.

3.2.1. Общие методы

Уже при обсуждении демпфированных собственных колебаний было указано на то, что общее уравнение (3.2) всегда можно свести к уравнению первого порядка для

Оно особенно удобно для нахождения решений в плоскости т. е. в фазовой плоскости, так как стоящая в левой части производная задает наклон кривой в определенной точке этой плоскости. Благодаря этому оказывается возможным последовательно построить фазовые траектории известными графическими методами и таким образом получить общее представление о фазовом портрете, а следовательно, и о характере колебаний.

Найти точное аналитическое решение уравнения (3.2) можно лишь в немногих случаях, когда функция имеет достаточно простой вид.

В этих случаях мы для большей наглядности будем преимущественно пользоваться энергетическим методом, уже зарекомендовавшим себя при расчете нелинейных собственных колебаний, и получим интеграл энергии.

При этом оказывается целесообразным разложить произвольную функцию на два слагаемых, одно из которых зависит только от х:

где Подставим это выражение в (3.2), почленно умножим результат на и проинтегрируем по времени. Полученное соотношение

    (3.6)

после умножения на постоянную (которая здесь нас больше не интересует) переходит в уравнение энергии

При этом следует принять во внимание, что теперь величина представляет не только потерю энергии на преодоление сил демпфирования, но и энергию, подводимую извне. Таким образом, соответствует применявшейся в предыдущем разделе разности . Во всех случаях, когда интеграл

можно вычислить в явном виде, задача расчета колебаний сводится к обычному интегрированию. После этого из (3.6) сразу получается уравнение фазового портрета

и дальнейшим интегрированием находится зависимость от времени:

Если функция по величине существенно меньше, чем то часто можно прийти к вполне приемлемым результатам, вычислив интеграл (3.7) с некоторым заданным приближенным выражением для х и подставив полученное значение в (3.8) и в (3.9).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление