Главная > Физика > Колебания: Введение в исследование колебательных систем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.2.2.2. Решение уравнений движения.

Решение безразмерного уравнения (2.123) можно было бы искать в виде экспоненты

как это обычно делается в теории дифференциальных уравнений. Однако здесь мы воспользуемся методом, основанным на замене

переменной (2.120). Сравнивая (2.123) и (2.119), видим, что в данном случае

и тогда из соотношения (2.120) следует, что

    (2.125)

причем у должно удовлетворять уравнению (2.121), которое теперь принимает вид

    (2.126)

В зависимости от величины коэффициента демпфирования D теперь нужно рассмотреть по отдельности три следующих случая:

I. Случай . Введя обозначение получим из (2.126) дифференциальное уравнение, решение которого уже было найдено в разд. 2.1.2.1:

Здесь А и В (соответственно С и ) — произвольные постоянные. Отсюда и из уравнения (2.125) получается решение для

    (2.127)

Для определения постоянных из заданных начальных условий, а также для дальнейшего исследования полученного решения нужно найти скорость. Дифференцирование по дает

Если начальные условия при имеют вид то постоянные, входящие в выражения (2.127) и (2.128), принимают следующие значения:

    (2.129)

II. Случай Обозначив получим из (2.126) уравнение

    (2.130)

Частными решениями этого уравнения являютея гиперболические функции

где гиперболический синус и гиперболический косинус соответственно. Оба этих решения составляют фундаментальную систему, так что общее решение (2.130) с постоянными А и В можно записать в виде

    (2.131)

причем

( — гиперболический тангенс).

Подставляя решения (2.131) в (2.125), получаем решения для х:

(2.132) Определение постоянных из начальных условий теперь дает

    (2.133)

Наряду с обеими формами решения (2.132) часто применяется еще одна его форма, которая следует из соотношений

т. е. форма

    (2.134)

Поскольку разность положительна, так что показатели степени в решении (2.134) всегда отрицательны.

III. Случай . Этот граничный случай можно получить из обоих рассмотренных до сих пор случаев предельным переходом при Однако проще непосредственно найти это решение уже освоенным способом. Из (2.126) следует уравнение

с общим решением

Решение для х, таким образом, будет

Определение постоянных интегрирования из начальных условий теперь дает

и поэтому общее решение переходит в следующее:

    (2.136)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление