Главная > Физика > Колебания: Введение в исследование колебательных систем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.2. Демпфированные собственные колебания

2.2.1. Учет демпфирования

При выводе уравнений движения осцилляторов, рассмотренных в разд. 2.1.1, всегда делалось допущение об отсутствии какого-либо сопротивления. Поэтому в большинстве случаев уравнение движения механического осциллятора можно было представить в виде

Такие уравнения движения получались из условий равновесия между силами инерции и восстанавливающими силами (или в случае электрического колебательного контура из условия равновесия напряжения на катушке и конденсаторе). Однако в каждом реальном осцилляторе действуют и силы (соответственно моменты или напряжения), которые оказывают демпфирующее воздействие. Эти силы демпфирования совершают отрицательную работу, уменьшая тем самым энергию колебания.

В качестве примера рассмотрим простой механический осциллятор, представленный на рис. 63 и состоящий из пружины и массы, которая соединена с создающим демпфирование поршнем. При колебании поршня в цилиндре возникает сила, величина которой зависит от скорости поршня х, а направление противоположно направлению этой скорости. При хорошо подогнанном поршне

эта сила прямо пропорциональна скорости и поэтому

    (2.114)

Знак определяется условием, что сила демпфирования всегда тормозит движение. С учетом силы демпфирования условие равновесия сил принимает вид

и, следовательно,

    (2.115)

Соответственно можно дополнить введенное выше уравнение (2.16 ) для электрического колебательного контура, учитывая имеющиеся в каждом контуре омические сопротивления.

Рис. 63. Схема демпфированного осциллятора.

Рис. 64. Электрический колебательный контур с сопротивлением.

На рис. 64 все сопротивления представлены одним особо выделенным элементом R, хотя это совершенно не обязательно. Если в контуре течет ток , то падение напряжения на сопротивлении составляет

поэтому условие равновесия напряжений дает уравнение

или, поскольку , уравнение

    (2.116)

В обоих рассмотренных случаях сила демпфирования (соответственно падение напряжения) пропорциональна скорости изменения некоторого параметра состояния х (соответственно Q). Такая пропорциональность, очевидно, не является безусловной. Если, например, к маятнику прикреплена перпендикулярная его

движению пластина, которая при колебаниях вызывает турбулентное движение воздуха, то демпфирующие моменты с большой точностью можно считать пропорциональными квадрату скорости. При движении маятника может возникнуть и момент сил сухого трения, у которого величина почти не зависит от скорости движения, но при изменении направления движения меняется знак.

В каждом случае демпфирующие влияния являются функцией скорости; эту функцию в общем случае мы будем обозначать При этом уравнение движения осциллятора (разделив его на коэффициент при х) почти всегда можно привести к общему виду

    (2.117)

Иногда оказывается, что силы демпфирования и восстанавливающие силы очень тесно связаны друг с другом и в уравнении движения их нельзя разделить. Тогда общий вид уравнения движения будет выглядеть так:

    (2.118)

В дальнейшем будут рассмотрены прежде всего свойства демпфированных линейных осцилляторов, а затем некоторые типичные случаи нелинейных осцилляторов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление