Главная > Физика > Колебания: Введение в исследование колебательных систем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.1.3.4. Циклоидальный маятник.

Зависимость периода колебания обычного гравитационного маятника от угла отклонения является одним из препятствий для увеличения точности хода прецизионных маятниковых часов. Чтобы часы шли точно, угол отклонения маятника должен меняться в очень узких пределах. Поэтому уже давно возник следующий вопрос: можно ли сконструировать маятник, у которого период колебания имеет постоянное значение при любой амплитуде колебаний? Подобного рода маятник называют изохронным.

Нам нужно найти такую кривую, что движущаяся по ней масса совершает под действием силы тяжести изохронные колебания. В разд. 2.1.1.5 было составлено уравнение движения массы под действием силы тяжести по произвольной кривой (уравнение (2.34)). Там было выведено дифференциальное уравнение движения массы по заданной кривой. Теперь нужно решить обратную задачу: по силе, заданной в виде , где s — длина дуги, найти кривую, по которой движется масса.

В этом случае восстанавливающая сила равна

где — угол наклона касательной к искомой кривой (рис. 53). Разложив силу тяжести G на нормальную составляющую N и восстанавливающую силу К, из подобия треугольников (рис. 53) можно получить

Отсюда получается уравнение кривой в параметрическом виде

Таким образом, решение задачи сводится к однократному интегрированию. Уравнение (2.92) справедливо и в более общем случае — для любого закона изменения силы.

Рис. 53. Разложение силы тяжести при движении массы по произвольной траектории.

Теперь сузим область исследования и потребуем, чтобы восстанавливающая сила была линейной функцией перемещения колеблющейся массы

Исследование линейного осциллятора показало, что в этом случае собственная круговая частота и вместе с тем период колебания Т не зависят от величины амплитуды. Подставим условие (2.93) в (2.92) и проинтегрируем. При этом целесообразно ввести новую переменную , а именно

что дает

Введя обозначение имеем

Это — параметрическое уравнение циклоиды, которая изображена на рис. 54.

Рис. 54. Построение циклоиды.

Такая циклоида получается при качении без скольжения окружности радиуса R по прямой, параллельной оси х и находящейся на расстоянии от нее; параметр a — угол поворота окружности.

Рис. 55 Схема циклоидального маятника Гюйгенса.

При качении окружности любая ее точка описывает циклоиду.

Вследствие рассмотренного здесь физического свойства циклоиды ее называют также изохроной (или таутохроной). Уже Гюйгенс

(1629—1695) знал это свойство и попытался использовать его при конструировании циклоидального маятника для часов. Поскольку каждую циклоиду можно рассматривать как эволюту конгруэнтной ей циклоиды, Гюйгенс нашел простой способ (схематически представленный на рис. 55) осуществить движение массы по дуге циклоиды. Для этого нужно выполнить направляющую в форме циклоиды, прикрепить к ее острию нить длиной и позаботиться о том, чтобы при колебаниях нить прилегала к направляющей. Тогда свободный конец нити будет двигаться по нижней циклоиде.

Период колебания циклоидального маятника равен

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление