Главная > Физика > Квантовая электродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.8.2. Асимптотические выражения для функций Грина.

До сих пор мы конкретно не пользовались теорией возмущений (если не считать того обстоятельства, что в самой перенормируемости мы убеждались из анализа структуры элементов -матрицы). Теперь же мы предположим, что функция разложима в ряд по степеням перенормированного заряда электрона

    (3.8.16)

где и вместо k введена новая переменная

Выясним, какой вид имеет этот ряд в асимптотической области больших импульсов I. Подставим для этого разложение (3.8.16) во вторую из формул (3.8.7):

    (3.8.17)

Величина не должна зависеть от при больших . Легко видеть, что это будет иметь место, если

    (3.8.18)

где а — константа; при этом . Выражение (3.8.18) показывает, что параметром разложения (3.8.16) при является в действительности не , т. е. величина . Аналогичная ситуация имеет место и в разложениях других величин в области больших импульсов.

Подставляя (3.8.18) в (3.8.16), мы получим для ряд вида геометрической прогрессии. Если то этот ряд сходится, и его сумма равна

Чтобы найти входящую сюда численную константу а, достаточно найти фотонную функцию Грина во втором приближении теории возмущений. Эта задача будет решена в п. 5.1.2, где мы покажем, что Поэтому окончательно имеет вид [14]

    (3.8.19)

Это асимптотическое выражение для справедливо при выполнении двух условий

    (3.8.20)

Мы считали, что и, соответственно, . В действительности содержит члены члены Поправки к и, соответственно, поправки к приводят к следующему выражению для функции

Аналогичным образом, повторяя рассуждения, приводящие к (3.8.19), можно получить следующий результат для константы перенормировки

    (3.8.22)

причем

На основании соотношения (3.8.22) мы можем найти теперь связь между перенормированным и неперенормированным зарядами

Мы видим, что . Это неравенство имеет простой физический смысл. Заряд реального электрона меньше заряда «голого» электрона, так как последний окружен облаком электронно-позитронных пар, экранирующих первичный заряде, внешний же наблюдатель воспринимает действие экранированного заряда.

В п. 3.8.1 мы показали, что представляет собой формфактор «точечного» заряда, т. е. фурье-образ пространственного распределения заряда «точечного» электрона. Согласно (3.8.19) этот формфактор превосходит единицу при т. е. на

расстояниях от «центра» электрона, меньших С уменьшением расстояния формфактор увеличивается. На расстояниях порядка формфактор практически не отличается от единицы, иными словами, на этих и больших расстояниях уже не чувствуется экранирование первичного заряда.

С учетом более высоких приближений можно получить следующее выражение для Z:

Выясним теперь, как ведет себя в области больших импульсов электронная функция Грина. Согласно (3.8.14) зависимость от при определяется функцией одного аргумента Предполагая, что функция разложима в ряд по степеням и поступая так же, как и при выводе (3.8.19), можно показать [21], что

где — некоторые численные константы, которые могут быть найдены из сравнения (3.8.25) с результатом вычисления во втором приближении теории возмущений:

В отличие от фотонной и электронной функций Грина, вершинная функция в области больших импульсов зависит, как можно показать, не от одного, а от трех аргументов Поэтому, не делая определенных предположений об этих инвариантах, из одного только предположения о разложимости функций в ряд по степеням нельзя получить соотношений, аналогичных (3.8.19) и (3.8.25). В дальнейшем мы еще вернемся к вопросу об асимптотике вершинной функции.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление