Главная > Физика > Квантовая электродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.2.2. Инвариантная теория возмущений.

Чтобы найти матрицу рассеяния, будем исходить из уравнения для оператора преобразования

    (3.2.5)

где — гамильтониан взаимодействия между полями:

    (3.2.6)

Входящий в гамильтониан оператор плотности тока пропорционален электрическому заряду электрона, который играет роль константы связи между электронным и электромагнитным полями.

Рис. 3.1.

Так как эта константа, точнее говоря, величи на мала по сравнению с единицей, то решение (3.2.5) можно искать в виде разложения в ряд по степеням малого параметра а. Перепишем с этой целью (3.2.5) в виде интегрального уравнения

и положим в нем

где пропорционально . Легко убедиться, что

Это выражение можно преобразовать так, чтобы все верхние пределы были равны t. Действительно, рассмотрим, папример, Областью интегрирования является здесь, очевидно, треугольник, расположенный ниже бессектрисы координатного угла в плоскости (рис. 3.1). Поменяв местами переменные гл и и считая по-прежнему абсциссой, а ординатой, мы получим

в качестве области интегрирований треугольник, расположенный выше биссектрисы координатного угла. Если бы операторы коммутировали между собой, то оба подынтегральных выражения совпадали бы, и можно было бы представить как половину интеграла по всему квадрату. Но это можно сделать и в случае некоммутирующих операторов если ввести хронологический оператор

или иначе:

    (3.2.7)

где при при . Тогда

Аналогично можно показать, что в общем случае имеет вид

где T — хронологический оператор, располагающий множители таким образом, чтобы временные аргументы операторов убывали слева направо.

Ряд для можно записать символически в виде

    (3.2.8)

Полагая здесь получим следующее общее выражение для матрицы рассеяния:

или (после подстановки вместо выражения (3.2.6))

    (3.2.9)

Мы видели, что в случае самосопряженного гамильтониана оператор преобразования будет унитарным, поэтому в этом случае и матрица рассеяния будет унитарной:

    (3.2.10)

Если — векторы двух физических состояний, то условие унитарности для них может быть записано в виде

где — вектор промежуточного ссстояния с и суммирование производится по всем состояниям с. Эти состояния могут содержать произвольное число нефизических скалярных и продольных фотонов, но вклад таких нефизических состояний равен нулю, т. е. в качестве промежуточных состояний могут быть взяты только физические состояния.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление